淺談兩類常見集合的區別

楊園

摘 要：集合是整個高中數學的基礎，是使用數學語言表述數學問題的基礎.集合是集合論中原始的不定義的概念，只能給出對集合概念的描述性說明，即是“某些指定的對象集在一起就構成了一個集合”.集合中的每個對象叫做這個集合的元素，顯然“某些對象”可以是“一些數”“一些點”“一些圖形”“一些式子”“一些物體”“一些人”等.以“一些數”為指定對象構成的集合叫做數集，以“一些點”為指定對象構成的集合叫做點集.在學習時一定要注意區分這兩類特殊的集合.

關鍵詞：集合；數集；點集

一、表示形式的差別

1.用列舉法表示數集和點集的形式是完全不同的.所謂列舉法，就是把集合中的每一個元素都一一寫出來.如：

數集有：{1}，{-1，0}，{a，b，c}等等；

點集有：{（1，2）}，{（0，1），（-1，0）}，{（a，b，c），（d，e，f）}等等.

2.用描述法表示數集和點集的形式也是完全不同的.所謂描述法，就是把集合中元素的共性提煉出來并限定范圍.如：

數集有：{x│x∈R}，{y│y=x2}等等；

點集有：{（x，y）│y=x}，{（x，y）│y=x2}等等.

顯然，從上面例子可以看出，數集和點集的表示形式是完全不同的.

二、表示意義的差別

例1. A={x│y=x2+1，x∈R}，B={y│y=x2+1，x∈R}，C={y│x=y2+1，y∈R}，D={（x，y）│y=x2+1，x∈R}，試問這四個集合是否表示同一集合？請說明理由.

解：從表示形式上可以看出，集合A，B，C是數集，而集合D是點集，集合D表示的是拋物線上的點構成的集合，故A，B，C與D不是同一個集合，再看A，B這兩個集合，A中的元素為x，x是函數y=x2+1的自變量，即集合A是函數y=x2+1的定義域，由題意可知A=R；而B中的元素為y，y是函數y=x2+1的函數值，即集合B是函數y=x2+1的值域，由題意可知B={y│y≥1}，顯然這兩個集合中的元素不完全相同，故不是同一集合.顯然將集合C中x，y全部互換可得：C={x│y=x2+1，y∈R}，顯然它與集合A是同一個集合.

點評：顯然從上面例子可以看出數集和點集的表示意義也是完全不同的.因此遇到集合問題，首先就應該弄清楚集合的元素是什么？有何表示意義？這樣才不至于引起混淆.

三、集合運算上的差別

例2.（1）已知集合M={x│x≥1}，N={y│0≤y≤5}，求M∩N？

（2）已知集合A={（x，y）│4x+y=6}，B={（x，y）│3x+2y=7}，求A∩B？

解：（1）中M，N顯然均是數集，借助數軸可知，

M∩N={x│1≤x≤5}；

（2）中顯然是點集，表示的是直線4x+y=6與3x+2y=7的交點構成的集合，故有：

4x+y=63x+2y=7，解得x=1y=2，∴A∩B={1，2}.

例3.（1）已知集合M={y│y=x2+2}，N={y│x2=-y+2}，求M∩N？

（2）已知集合A={（x，y）│y=x2+2}，B={（x，y）│x2=-y+2}，求A∩B？

解：（1）中M，N為數集，由它們所表示的意義可知，M={y│y≥2}，N={y│y≤2}

如圖所示，借助數軸可知，M∩N={2}.

（2）中A，B為點集，表示的是拋物線y=x2+2與x2=-y+2的交點構成的集合，故有：

y=x2+2x2=-y+2，

解得x=0y=2

∴ A∩B={（0，2）}

點評：由例2，例3可知，數集與點集在求交并運算時，所用的思想方法和所得的結果是截然不同的.在求由不等式為條件構成的數集的交集時，可結合數軸，用數形結合的思想幫助簡化思維過程；在求以方程為條件構成的點集的交集時，則需聯立方程組求交點.

綜上可知，在數學學習中，我們一定要時刻注意數集和點集的差別，抓住本質，以不變應萬變，這樣才能準確地解決集合中的相關問題.

參考文獻：

[1]沈汝彪.集合論的孕育與誕生[J].數學通報，2000（05）.

[2]朱梧，肖奚安.集合論導引.大連理工大學出版社，2008-03.

（作者單位 湖北省黃岡中學）