空間問題平面化思想教學淺析

魏秋梅

摘 要：立體幾何是平面幾何的推廣和發展，平面幾何是立體幾何的基礎和依據。將空間問題平面化，是立體幾何常用到的一種化歸與類比思想。教學中可以從空間圖形的畫法平面化、空間角的平面化、空間距離的平面化三個方面去展開。

關鍵詞：立體幾何；空間問題；平面幾何平面化；化歸；類比

立體幾何是平面幾何的推廣和發展，平面幾何是立體幾何的基礎和依據。解決立體幾何問題的基本思路是：尋找正確的手段和方法，將它化為平面幾何去解決。因此將空間問題平面化，是立體幾何常用到的一種化歸與類比思想。教學中必須重視這種思想的滲透。

一、空間圖形的畫法平面化

空間圖形的斜二測畫法是將空間圖形轉化為它的直觀圖這一平面圖形的基本方法。教學中培養學生識圖、畫圖的能力，養成認真細心的良好的學習習慣。如，下邊兩個圖形，由于虛線不同，看上去位置就大不一樣了。

二、空間角的平面化

空間角指的是兩條異面直線所成的角，直線與平面所成角，平面與平面所成角。把空間角化歸為平面角的方法：

（1）異面直線所成角的求法：平移法，即把一條直線向另一條直線上移或把兩條直線向同一點移。

（2）斜線與平面所成角的求法：通過斜線上的某一點作出平面的垂線去找角，將此角放到一個三角形中去解。

（3）二面角的求法：求作二面角的平面角的方法有定義法、垂線法、垂面法、延伸法、射影法等。

例1.底面是等腰梯形的四棱錐S-ABCD，AD=BC，AB=2CD=2SD，∠DAB=60°，SD⊥底面ABCD，求：

（1）側面SAB與底面ABCD所成二面角的大小。

（2）側棱SB與底面ABCD所成的角。

（3）異面直線SB和AD所成的角。

（2）連接SB、DB，則∠SBD即為所求的直線與平面所成的角。

（3）作BF∥AD交CD延長線于F，連接SF，則∠SBF即為異面直線所成的角。

∵SF2=SD2+DF2=5a2，SB2=SD2+DB2=4a2，BF2=AD2=a2 ∴SF2=SB2+BF2，故∠SBF=90°

三、空間距離的平面化

空間距離分為：點到直線的距離、點到平面的距離、直線與直線的距離、直線與平面的距離、平面與平面的距離。根據它們的定義都可化為平面上兩點的距離。具體化法是：

（1）點到平面的距離的求法有直接法，即由該點向平面引垂線，直接計算垂線段的長；轉移法，即將該點到平面的距離轉化為另一點到該平面的距離；體積法，即已知棱錐的體積和底面的面積，求頂點到底面的距離，可用體積公式的逆公式。

（2）異面直線距離的求法：①直接法。當公垂線直接能作出時，直接求，這時，作出并證明異面直線的公垂線段；②轉化法：將線線距離轉化為線面距離或轉化為面面距離。③體積法：利用線面距離轉化為錐體的高，用體積公式的逆公式求之。

例2.四面體ABCD的棱長為1，求：

（1）點A到平面BCD的距離。

（2）異面直線AB、CD之間的距離。

簡解：如圖4

（1）過A作AO⊥平面BCD于O，連接BO并延長與CD相交于E，連接AE。

（2）取AB的中點E，連接CF、DF

∵BC=AC，BF=AF，∴CF⊥AB，同理DF⊥AB。∴AB⊥平面CFD，連結EF，則AB⊥EF。同理可證CD⊥EF，∴EF為異面直線AB，CD之間距離。

即AB、CD之間的距離為。

參考文獻：

[1]史久一，朱梧槚.化歸與歸納、類比、聯想.大連理工大學出版社，2008-04.

[2]傅佑珊，古永喜.類比推理與立體幾何教學.數學通報，1991-11.

（作者單位 陜西省西安市第三十三中學）