矩形內的幾個面積問題

王勇

矩形是學生最熟悉的圖形，與矩形有關的平面幾何題也是數不勝數.本文例談矩形內的幾個面積問題，這些問題的解決方法雖然說是最基本的，但也是非常有效的.先看下面一個基本問題.

如圖1，矩形ABCD中，BD為對角線，P為AB上任意一點，則△PDE的面積等于△BCE的面積.為書寫方便，簡記為：S（1）=

S（2），以下例題中也是如此.

這個結論是容易看出的，從圖2中不難知道，S（1）+S（3）=S（2）+S（3），這是因為它們都是矩形面積的一半.從而S（1）=S（2）.

利用上面這個結論（以下稱為基本結論），可以解決矩形內許多面積問題，試舉一例.

例.如圖3，矩形ABCD中，E為AD上任意一點，F為AB上任意一點，G為CD上任意一點，順次連結E、B、G、F、C得一五角星，證明：S（1）+S（2）+S（3）+S（4）+S（5）-S（6）是一個定值.

證：如圖4，S（1）+S（7）+S（5）+S（2）+S（8）+S（3）是矩形面積的一半，由基本結論，S（4）=S（7）+S（6）+S（8），即S（7）+S（8）=S（4）-

S（6），從而S（1）+S（7）+S（5）+S（2）+S（8）+S（3）=S（1）+S（5）+S（2）+

S（3）+S（4）-S（6）是一個定值，即S（1）+S（2）+S（3）+S（4）+S（5）-

S（6）是一個定值.這個定值就是矩形面積的一半.

（作者單位 江蘇省徐州市運河高等師范學校〈副

教授〉）