數學方法在高中物理中的運用

董瑩莉

【關鍵詞】數學方法 高中物理 物理規律 解題能力

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2013）07B-0045-04

物理學是應用數學方法最充分、最成功的一門學科，數學思想方法是解決物理問題的重要工具，在高中物理中時常存在數學方法的影子。學生在解題的過程中，除面對物理知識的考查和理解外，可能也面臨著數學方法、數學知識的考驗，而有時數學方法的使用對問題的解決起到關鍵的作用。本文就高中物理解題中用到的典型的數學方法進行歸納。

一、正余弦函數在高中物理中的應用

（2012安徽理綜）圖1是交流發電機模型示意圖。在磁感應強度為B的勻強磁場中，有一矩形線圈abcd可繞線圈平面內垂直于磁感線的軸OO′轉動，由線圈引出的導線ae和df分別與兩個跟線圈一起繞OO′轉動的金屬環相連接，金屬環又分別與兩個固定的電刷保持滑動接觸，這樣矩形線圈在轉動中就可以保持和外電路電阻R形成閉合電路。圖2是線圈的主視圖，導線ab和cd分別用他們的橫截面積來表示。已知ab長度為L1，bc長度為L2，線圈以恒定角速度ω逆時針轉動。（只考慮單匝線圈）

1.線圈平面處于中性面位置時開始計時，試推導t時刻整個線圈中的感應電動勢e1的表達式；

2.線圈平面處于與中性面成φ0夾角位置開始計時，如圖3所示，試寫出t時刻整個線圈中的感應電動勢e2的表達式；

3.若線圈電阻為r，求線圈每轉動一周電阻R上產生的焦耳熱。（其他電阻均不計）

【分析與解答】

1.（如圖4）線圈abcd轉動過程中，只有ab和cd切割磁感線，設ab、cd的轉動速度為v，則v=ω。在t時刻，導線ab和cd因為切割磁感線產生的感應電動勢方向相同，大小均為E1=BL1v2。由圖象可知，v⊥=vsinωt。整個線圈在t時刻產生的感應電動勢為：e1=2E1=BL1L2ωsinωt。

2.當線圈由圖2位置開始轉動時，在t時刻線圈的感應電動勢為e2=BL1L2ω

sin（ωt+φ0）。

3.由閉合電路的歐姆定律，得I=。E為線圈中產生感應電動勢的有效值，E==。線圈轉動一周在R上產生的焦耳熱Q=I2RT，其中T=，所以Q=πRω（）2。

【說明】本題考查了交流電流的產生和變化規律以及交流電路中熱能的計算，主要運用到了數學里的正弦函數來處理物理問題。不僅正弦交流電的電動勢和電流瞬時值，機械振動的位移時間關系、機械波波動圖象等，這些周期性的復雜的過程用正余弦函數表示卻會變得非常簡單明了。

二、不等式法在高中物理中的應用

例1：（2010高考理綜）在一次國際城市運動會中，要求運動員從高為H的平臺上A點由靜止出發。沿著動摩擦因數為μ的滑道向下運動到B點后水平滑出，最后落在水池中。設滑道的水平距離為L，B點的高度h可由運動員自由調節（取g=10 m/s2）。求：

（1）運動員到達B點的速度與高度h的關系；

（2）運動員要達到最大水平運動距離，B點的高度h應調為多大？對應的最大水平距離SBH為多少？

（3）若H=4m，L=5m，動摩擦因數μ=0.2，則水平運動距離要達到7m，h值應為多少？

【分析與解答】

.

【說明】很明顯，在第二問中就用到了不等式求極值的方法，而第二步的結論又直接影響到了第三問的解答，所以數學方法的應用是本題的一個難點，也體現了數學方法的重要性。

例2：（2012廣東理綜，36）圖5所示的裝置中，小物塊A、B質量均為m，水平面上PQ段長為l，與物塊間的動摩擦因素為u，其余段光滑。初始時，擋板上的輕質彈簧處于原長；長為r的連桿位于圖中虛線位置；A緊靠滑桿（A、B間距大于2r）。隨后，連桿以角速度ω勻速轉動，帶動滑桿做水平運動，滑桿的速度—時間圖象如圖6所示。A在滑桿推動下運動，并在脫離滑桿后與靜止的B發生完全非彈性碰撞。

（1）求A脫離滑桿時的速度v0及A和B碰撞過程的機械能損失ΔE。

（2）如果AB不能與彈簧相碰，設AB從P點運動到停止所用的時間為t1，求ω的取值范圍，及t1與ω的關系式。

（3）如果AB能與彈簧相碰，但不能返回到P點左側，設每次壓縮彈簧過程中彈簧的最大彈性勢能為Ep，求ω的取值范圍，及Ep與ω的關系式（彈簧始終在彈性限度內）。

【分析解答】

【說明】本題是一道很典型物理問題與不等式結合的題目，主要在臨界情況應用不等式極值。不等式不僅在運動學題目中應用廣泛，在電學題目中也占有很大的比重。有時不等式不僅用于求解物理量的范圍，還在分析物理的動力學過程中起著重要作用。

例3：在豎直面內圓周運動的臨界問題分析。

物體在豎直面內做圓周運動是一種典型的變速曲線運動，該類運動常有臨界問題，并伴有“最大”“最小”“剛好”等詞語，常分析兩種模型——輕繩模型和輕桿模型，分析如下表所示：

【說明】由以上例子可見不等式不僅在求解范圍極限這樣的題型中用到，在一些臨界情況的分析中不等式法更有得天獨厚的優勢，可見不等式與物理的結合能力也是學生分析問題時必不可少的。

三、極值法在高中物理中的應用

例1：一輛汽車在十字路口等候綠燈，當綠燈亮時汽車以3m/s2的加速度開始行駛。恰在這時一輛自行車以6m/s的速度勻速駛來，從后邊趕過汽車。汽車從路口開動后，在追上自行車之前過多長時間兩車相距最遠？此時距離是多少？

【分析與解答】

經過時間t后，自行車做勻速運動，其位移為s1=vt①

汽車做勻加速運動，其位移為s2=at2②

兩車相距為：Δs=s1-s2=vt-at2=6t-t2③

因為上式是一個關于t的二次函數，因二次項系數為負值，故Δs有最大值。

當t=-==2s時④

Δs有最大值。

例2：如圖7所示，底邊恒定為b，當斜面與底邊所成夾角為多大時，物體沿此光滑斜面由靜止從頂端滑到底端所用時間最短？

【分析與解答】設斜面傾角為θ時，斜面長為S，物理受力如圖8所示，由圖知

【說明】以上兩例分別是利用二次函數公式求極值、利用三角函數的有界性求極值。物理知識和數學知識靈活地結合，為解決物理學中的極值問題提供了方便，也體現了數學方法在處理物理問題上的優越性。

四、幾何知識在高中物理中的應用

例1：如圖9所示，在懸點O處用長為L的細繩拉著質量為m的小球，小球在半徑為R的光滑半球面靜止，已知懸點離半球面的豎直高度為h，試求半球對小球的支持力和繩對小球的拉力。

【分析與解答】小球的受力如圖五所示，三個力中任意兩個力都不垂直，且三個力構成的三角形中各角都是未知的，但是三角形的的各邊長度已知。

說明：由于三個力構成的三角形各角都是未知的，所以三角形邊角關系法、正交分解法均不適用于此題，但是，ΔO′OA中各邊長度已知，所以運用相似三角形法可將問題解決。

例2：房內高處有白熾燈S（點光源），如果在S所在位置沿著垂直墻壁BC的方向扔出一個小球A，如圖11所示，請描述A在BC上的影子沿著BC的運動情況。

由于影子的高度H′與時間的一次方成正比，所以影子做勻速直線運動。

【說明】本題解題的關鍵是畫出光路圖，在幾何關系中找準關系，然后應用物理規律解決，光學中的絕大多數題目都不可避免地要應用幾何知識，本題就是一個典型的例子。

五、數列知識、比例法在高中物理中的應用

例1：（2011重慶理綜，25）某儀器用電場和磁場來控制電子材料表面上方的運動，如圖所示，材料表面上方矩形區域PP′N′N充滿豎直向下的勻強電場，寬度為d；矩形區域NN′M′M充滿垂直紙面向里的勻強磁場，磁場強度為B，廠為3s，寬為s；NN′為磁場和電場之前的薄隔離層。一個電荷量為e、質量為m、初速度為零的電子，從P點開始被電場加速經隔離層垂直進入磁場，電子每次穿越隔離層，運動方向不變，其動能損失是每次穿越前動能的10%，最后電子僅能從磁場邊界M′N′飛出。不計電子所受重力。

（1）求電子第二次與第一次圓周運動半徑之比；

（2）求電場強度的取值范圍；

（3）A是M′N′的中點，若要使電子在A、M′間垂直于AM′飛出，求電子在磁場區域中運動的時間。

【分析與解答】

（1）設圓周運動的半徑分別為R1、R2、……、Rn、Rn+1…，第一和第二次圓周運動速率分別為v1和v2，動能分別為Ek1和Ek2。

【說明】該題主要考查帶電粒子在分離的電磁場中的運動，輔助考查在磁場中運動的臨界問題。本題的解答運用到了數列知識和不等式的知識。在習題教學中運用數列法解題時，必須根據物理原理，先確定其中某幾項（前幾項或后幾項），然后用遞推的方法找出其通用公式，確定物理規律。涉及數列知識的題目多數在直線運動中出現，復雜的但有規律的運動或者動量中多次碰撞的情況也涉及數列知識。

例2：列車從車站出發做勻加速直線運動，一位旅客站在站臺上列車的最前端，測得第一節車廂經過他身旁的時間是3秒，假設各節車廂長度相同且不計車廂連接處的長度，則第9節車廂經過他身旁需要多少時間？

【說明】本題按照常規的解法計算會相當麻煩，但是利用比例的方法就能很簡單地解決，這就要求學生具有對數學表達的深刻觀察力和善于利用比例的能力。

教學實踐證明，數學方法在高中物理中的應用無論是過去、現在還是將來都扮演著十分重要的角色。在處理物理問題時，若能充分借助數學工具的作用，則對激發學生的學習興趣，培養學生創新精神和創新能力，提高學生解決實際問題的能力起到積極的作用。總之，在物理教學中有效地利用數學，數理結合，能提升高中物理教學的有效性。因此，我們在平時的教學實踐中，應從分析物理現象著手，把物理、數學知識有機結合起來，融會貫通，培養學生的綜合應用能力。

（責編 林 劍）