處理解析幾何“長度問題”的五大視角

呂珊娟 金富軍

近幾年解析幾何中的“長度問題”已成為高考與競賽試卷命題的熱點.此類問題有綜合性強、運算量大、思想方法多、思維能力要求高等特點.對這類問題，只要采取恰當的視角，就可以快速、有效地找到解題途徑.本文從五個角度介紹破解策略，供讀者參考，希望能給讀者一點啟發.

一、公式視角

運用兩點間的距離公式求長度是最常用也是最有效的方法，它是解析幾何處理“長度”問題的通法.運用此法，解題思路自然、流暢，缺點是“變形”要求略高，運算量偏大.

【例1】（2010年山東理21）如圖，已知橢圓■+■=1（a>b>0），離心率為■，以該橢圓上的點和橢圓的左右焦點F1、F2為頂點的三角形的周長為4（■+1），等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設P是雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF1、PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D.Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標準方程；Ⅱ）設直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，求證：k1、k2=1；Ⅲ）是否有正實數λ，使|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，說明理由.

解：Ⅰ）橢圓方程■+■=1，雙曲線方程x2-y2=4.

Ⅱ）略.

Ⅲ）設PF1所在直線方程為：y=k1（x+2），設A（x2，y2），B（x2，y2）.

由y=k1（x+2）■+■=1消去y得（1+2k12）x2+8k21x+8k21-8=0由韋達定理得x1+x2=■，x1x2■結合k1k2=1得|AB|=■|x1-x2|=■.同理可得|CD|=■所以|AB|+|CD|=■.|AB|+|CD|=■因為|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立，所以12■=32λ，即λ=■.

二、坐標視角

所謂坐標化，就是通過坐標將“長度”轉化為坐標來處理的一種解題方法，其本質是幾何問題代數化.通過建立坐標系（直角坐標系或極坐標系），利用長度與直角坐標、長度與極徑的內在聯系使難于處理的某些長度問題轉化為坐標——即數的運算來解決，我們熟知的“化斜為直”就是坐標化運用的典型例子。

【例2】（2012年浙江省高中數學競賽19題）設P為橢圓■+■=1長軸上一個動點，過P點斜率為k的直線交橢圓于A、B兩點，若|PA|2+|PB|2的值僅依賴于K而與P無關，求的值。

解：設P（m，0），則過P點斜率為k的直線方程為y=k（x-m），其傾斜角為α，易知k≠0，設A（x1，x2）.B（x2.y2）故|PA|2+|PB|2=■+■=■（y21+y22）

由y=k（x-m）■+■=1消去x并整理得（16+25k2）y2+32mky+16m2k2-400k2=0

由韋達定理得y1+y2=■，y1y2=■所以

■（y21+y22）=■[（y1+y2）2-2y1y2]

=■

因為|PA|2+|PB|2的值僅依賴于k而與P無關，所以16-25k2=0，從而k=±■

三、參數視角

直線的參數方程中的參數有明顯的幾何意義，它與長度問題密切相關，受此啟發，求長度之比、面積之比、證明有關長度的恒等式（或不等式）及求長度范圍、最值等問題，常可通過合理換元、適當引參，運用參數的幾何意義來破解，以實現簡化運算，快速求解的目的.

【例3】直線l過點m（2，1），且與x軸、y軸的正方向分別交于A、B兩點，求使|MA|·|MB|最小時直線l的方程。

解：直線l的參數方程為x=2+tcosθy=1+tsinθ其中t為參數，θ為傾斜角，且θ∈（■，π）設A、B兩點對應的參數分別為t1、t2，則由yA=0yB=0可得t1=-■，t2=-■

所以|MA|·|MB|=|t1|·|t2|=|-■|·|-■|=|-■|所以，當sin2θ=-1即θ=■時，|MA|·|MB|有最小值4，此時直線l的方程為x=2-■ty=1+■t即x+y-3=0

四、比例視角

圓錐曲線的定義及平面幾何和向量的許多定理、性質（如角平分線定理、合分比定理、三角形的相似比、向量共線定理等）均與長度有關.對于長度之比這類問題，解題時要抓住幾何圖形的性質特征，運用幾何模型，挖掘存在的比例關系便于找到解題的突破口.

【例4】（2008年江西理15）過拋物線x2=2py（p>0）的焦點F作傾斜角為30°的直線，與拋物線分別交于A、B兩點（A在y軸左側），則■= 。

解：設l為拋物線的準線，過A、B分別作AM⊥l于N，過A作AC⊥BN于C，設|AF|=x，|BF|=y，|AB|=|AF|+|BF|=X+Y.①由拋物線的定義得|AM|=|AF|=x，|BN|=|BF|=y，所以|BC|=|BN|-|AM|=y-x ②而由已知條件知直線AB的傾斜角為30°，所以∠BAC=30°，于是在Rt△ACB中有|AB|=2|BC|，將①、②式代入得x+y=2（y-x），即3x=y，所以■=■=■.

五、向量視角

向量具有數與形的雙重特點，既是數與形聯系的橋梁，也是求角與長度問題的重要工具，它常與三角函數、解析幾何等內容結合在一起，已越來越受到命題老師的青睞.解析幾何的“長度問題”如果能與向量結合，利用向量知識與方法可將長度問題向量化，就能收到事半功倍的解題效果。

例題：（略）。

（作者單位：浙江省寧海中學）