桁架桿機構的優化設計

宋育紅

摘 要：桁架結構優化設計中普遍存在約束的作用，現有優化設計一般采用滿應力法、遺傳優化或直接實驗法搜索等優化方法，但其時間周期長、優化復雜。本文主要采用復合形法，建立了桁架結構優化設計的數學模型，利用Fortran優化程序對其進行優化并獲得最優解。

關鍵詞：桁架結構 優化設計 復合形法

一、優化目標及設計原則

1.優化目標

在工程力學教學當中，筆者利用復合形法對桁架桿進行優化設計，以求得到其最優解。桁架桿設計的優化可以選擇多種目標，如尺寸最小、質量最輕、強度最高等，一般應根據不同的需要選定。筆者以桁架桿為例，以其質量最小為優化目標。

2.設計原則

在桁架桿設計時我們首先要求兩桿同時滿足強度條件，其次要滿足幾何條件約束，進而確定目標函數，并對其優化。

二、復合形法優化設計簡述

復合形法的基本思路是在n維空間的可行域中選取K個設計點（通常取n+1≤K≤2n）作為初始復合形（多面體）的頂點。然后比較復合形各頂點目標函數的大小，其中把目標函數值最大的點作為壞點，以壞點之外其余各點的中心為映射中心，尋找壞點的映射點。一般說來，此映射點的目標函數值總是小于壞點的，也就是說映射點優于壞點。這時，以映射點替換壞點與原復合形除壞點之外其余各點構成K個頂點的新的復合形。如此反復迭代計算，在可行域中不斷以目標函數值低的新點代替目標函數值最大的壞點從而構成新復合形，使復合形不斷向最優點移動和收縮，直至收縮到復合形的各頂點與其形心非常接近、滿足迭代精度要求時為止。最后輸出復合形各頂點中的目標函數值最小的頂點作為近似最優點。

三、建立數學模型

1.已知參數

如桁架桿的結構，已知l=2m，xB=1m，載荷ρ=100kN桁架材料的密度 ρ=7.5×10-5N/mm3，許用拉應力[σ+ ]=150MPa，許用壓應力[σ- ]=100MPa，yB的范圍為：0.5m≤yB≤1.5m，求桁架桿在滿足強度的條件下，其質量的最小值。

2.選取設計變量

我們要使該結構的質量最輕，則

（1）

其中：W為該結構的質量、A1 A2分別為1桿和2桿的橫截面面積。所以其獨立參數有A1、A2、yB，所以優化設計變量取：X=[A1、A2、yB]T=[x1，x2，x3]T

3.建立目標函數

將（1）式用設計標量表示，其目標函數為：

（2）

4.確定約束條件

（1）應力分析。

如，

由此得

由正弦定理得：

由此得1、2桿橫截面上的正應力分別為：

其要滿足強度條件則

（2） 約束條件

（3）

（4）

（5）

四、利用Fortran語言構建優化模型

目標函數：

min

約束條件：

G（1）=X（1）≥0 G（2）=X（2）≥0 G（3）=X（3）-500≥0

G（4）=1500-X（3）≥0 G（5）=[X（3）+0.2]2-3X（1）+1≥0

G（6）=X（4）2-4X（2）+1≥0

根據以上的目標函數和約束條件，采用復合形法優化算法，利用Fortran語言編寫相應程序代碼，優化結果采用目標函數最小控制，最終求解出目標函數最小時的最佳參數組合。

五、優化結果分析

經計算得最優解：

fx=125.8037N

約束函數值：

G（1）=X（1）=521.0478 G（2）=X（2）=640.3725

G（3）=X（3）=800.4236 G（4）=X（4）=699.5764

G（5）=X（5）=120.4526 G（6）=X（6）=36.88132

由此得：最優解fx=125.8037N，當其yB=800.4236、A1=521.0478mm2、A2=640.3725mm2。

（作者單位：西安航空職業技術學院）