第七類：解析幾何

圓錐曲線的基本性質

（★★★★）必做1 給定橢圓C：+=1（a>b>0），稱圓心在原點O，半徑為的圓是橢圓C的“準圓”. 若橢圓C的一個焦點為F（，0），其短軸上的一個端點到F的距離為.

（1）求橢圓C的方程和其“準圓”方程；

（2）點P是橢圓C的“準圓”上的一個動點，過點P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個交點，且l1，l2分別交其“準圓”于點M，N.

①當P為“準圓”與y軸正半軸的交點時，求l1，l2的方程；

②求證：

MN

為定值.

[牛刀小試]

精妙解法 （1）因為c=，a=，所以b=1， 所以橢圓的方程為+y2=1，準圓的方程為x2+y2=4 .

（2）①因為準圓x2+y2=4與y軸正半軸的交點為P（0，2）， 設過點P（0，2），且與橢圓有一個公共點的直線為y=kx+2，

所以y=kx+2，

+y2=1，消去y 得到（1+3k2）x2+12kx+9=0.

因為橢圓與y=kx+2只有一個公共點，所以Δ=144k2-4×9（1+3k2）=0，解得k=±1.

所以l1，l2的方程為y=x+2，y=-x+2.

②a. 當l1，l2中有一條無斜率時，不妨設l1無斜率，

因為l1與橢圓只有一個公共點，則其方程為x=或x=-，

當l1的方程為x=時，此時l1與準圓交于點（，1），（，-1），

此時經過點（，1）（或（，-1））且與橢圓只有一個公共點的直線是y=1（或y=-1），即l2為y=1（或y=-1），顯然直線l1，l2垂直；同理可證l1的方程為x=-時，直線l1，l2垂直.

b. 當l1，l2都有斜率時，設點P（x0，y0），其中x+y=4，

設經過點P（x0，y0）與橢圓只有一個公共點的直線為y=t（x-x0）+y0，

則y=tx+（y0-tx0），

+y2=1，消去y得到x2+3（tx+（y0-tx0））2-3=0，

即（1+3t2）x2+6t（y0-tx0）x+3（y0-tx0）2 -3=0，

Δ=[6t（y0-tx0）]2-4·（1+3t2）[3（y0-tx0）2-3]=0，

化簡得（3-x）t2+2x0y0t+1-y=0.

因為x+y=4，所以有（3-x）t2+2x0y0t+（x-3）=0，

設l1，l2的斜率分別為t1，t2，因為l1，l2與橢圓都只有一個公共點，

所以t1，t2滿足上述方程（3-x）t2+2x0y0t+（x-3）=0，

所以t1·t2=-1，即l1，l2垂直.

綜上知：因為l1，l2經過點P（x0，y0），又分別交其準圓于點M，N，且l1，l2垂直.

所以線段MN為準圓x2+y2=4的直徑，所以

MN

=4.