2013年高考數學必做解答題——概率統計

章少川

隨機事件的概率

（★★★★）必做1 袋子中放有大小和形狀相同的小球若干，其中標號為0的小球1個，標號為1的小球1個，標號為2的小球n個，已知從袋子隨機抽取1個小球，取到標號為2的小球的概率是.

（1）求n的值；

（2）從袋子中不放回地隨機抽取2個球，記第一次取出的小球標號為a，第二次取出的小球標號為b.

①記“a+b=2”為事件A，求事件A的概率；

②在區間[0，2]內任取2個實數x，y，求事件“x2+y2>（a-b）2恒成立”的概率.

[牛刀小試]

破解思路 第（1）問n值可通過“等概率性”直接求解. 第（2）問第①小題基本事件數為有限個，屬于古典概型問題，可分為第一次取0號球，第二次取2號球；第一次取2號球，第二次取0號球兩種情況來求概率. 第②小題中x，y兩個數都在連續的區間內取，基本事件數為無限個，屬于“測度”為面積的幾何概型問題.

精妙解法 （1）由題意可得==，解得n=2.

（2）①由于是不放回抽取，事件A只有兩種情況：第一次取0號球，第二次取2號球；第一次取2號球，第二次取0號球. 所以P（A）===.

②記“x2+y2>（a-b）2恒成立”為事件B，則事件B等價于“x2+y2>4恒成立.

（x，y）可以看成平面中的點，則全部結果所構成的區域為Ω={（x，y）

0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R}，

而事件B構成的區域B={（x，y）

x2+y2>4，（x，y）∈Ω}，所以P（B）==1-.

誤點警示 古典概型中的基本事件數一般通過分類求解，要注意“有放回與無放回”的區別，也要注意“有序與無序”的區別；利用幾何概型求概率時，要注意尋找試驗的全部結果構成的區域和事件發生的區域，更要注意準確判定“測度”是面積型還是長度型.

（★★★★）必做2 某人居住在城鎮的A處，準備開車到單位上班，若該地各路段發生堵車事件都是相互獨立的，且在同一路段發生堵車事件最多只有一次，發生堵車時間的概率如圖1（例如A→C→D算兩個路段：路段AC發生堵車事件的概率為，路段CD發生堵車事件的概率為）.請你為其選擇一條由A至B的線路，使途中發生堵車的概率最小.

[E][F][B][A][C][D][][][][][][][]

圖1

[牛刀小試]

精妙解法 由A至B的線路有三種選擇：A→C→D→B，A→C→F→B，A→E→F→B. 按線路A→C→D→B來走，發生堵車的可能包括：三個路段中恰有一個發生堵車，或恰有兩個發生堵車，或三個均發生堵車，其反面為三個路段均不發生堵車事件. 故途中發生堵車的概率為：1-

1-·1-

1-

=. 同理，按線路A→C→F→B來走，途中發生堵車的概率為：1-

1-1-

1-

=；按線路A→E→F→B來走，途中發生堵車的概率為：1-1-

1-

·1-

=. 由于>>，故選擇A→C→F→B的線路，途中發生堵車的概率最小.

（★★★★★）必做3 從裝有2只紅球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同.

（1）若抽取后又放回，抽3次，分別求恰2次為紅球的概率及抽全三種顏色球的概率；

（2）若抽取后不放回，求抽完紅球所需次數不少于4次的概率.

[牛刀小試]

破解思路 本題是典型的古典概型摸球問題.基本事件數的求解一定要注意“有放回與無放回”的區別，也要注意“有序與無序”的區別. 第（1）問是3次獨立重復試驗中事件發生2次的概率問題；而“三種顏色抽全”的有序排列共有A=6種，要防止誤錯為組合數來求解. 第（2）問是含“不少于”“至多”“至少”型題目，要理清各種可能的結果再求解，有時用間接法處理更為簡潔.

精妙解法 （1）抽1次得到紅球的概率為，得白球的概率為，得黑球的概率為.

所以恰2次為紅色球的概率為P=C

2·=，抽全三種顏色的概率P=

×

×·A=.

（2）抽完紅球所需的次數不少于4次有以下兩種情況：

第一種，抽完紅球所需的次數為4次時，P=·=.

第二種，抽完紅球所需的次數為5次時，P==.

所以抽完紅球所需的次數不少于4次的概率為：P=P+P=+=.

離散型隨機變量的分布列、期望與方差

（★★★★★）必做4 市職教中心組織廚師技能大賽，大賽依次設基本功（初賽）、面點制作（復賽）、熱菜烹制（決賽）三個輪次的比賽，已知某選手通過初賽、復賽、決賽的概率分別是，，，且各輪次通過與否相互獨立.

（1）設該選手參賽的輪次為ξ，求ξ的分布列和數學期望；

（2）對于（1）中的ξ，設“函數f（x）=3sinπ（x∈R）是偶函數”為事件D，求事件D發生的概率.

[牛刀小試]

破解思路 本例以實際問題為背景，考查離散型隨機變量的分布列與數學期望.第（1）問較基礎，隨機數分類較好把握，概率求解考查獨立事件的概率.可用恰當字母表示題中有關事件，將需要計算概率的事件表示為所設事件的乘積或若干個乘積之和，再利用乘法公式計算概率. 第（2）問聯系三角函數的性質，有一定的綜合性，但實際不難，屬于古典概型問題.

精妙解法 （1）ξ可能取值為1，2，3.

記“該選手通過初賽”為事件A，“該選手通過復賽”為事件B.

P（ξ=1）=P（）=1-=；

P（ξ=2）=P（A）=P（A）P（）=×

1-=；

P（ξ=3）=P（AB）=P（A）P（B）=×=.

所以ξ的分布列為：

[ξ＼&1＼&2＼&3＼&P＼&＼&＼&＼&]

ξ的數學期望Eξ=1×+2×+3×=.

（2）當ξ=1時， f（x）=3sinπ=3sin

x+=3cosx， f（x）為偶函數；

當ξ=2時， f（x）=3sinπ=3·sin

x+π=-3sinx， f（x）為奇函數；

當ξ=3時， f（x）=3sinπ=3·sin

x+π=-3cosx， f（x）為偶函數. 所以事件D發生的概率是.

極速突擊 求離散型隨機變量ξ的分布列、均值和方差的一般步驟：①理解ξ的意義，寫出ξ可能取值的全部值；②求出ξ取每個值的概率；③寫出ξ的分布列；④由均值的定義求出Eξ；⑤由方差的定義求Dξ.

（★★★★★）必做5 形狀如圖2所示的三個游戲盤中（圖①是正方形，M，N分別是所在邊中點，圖②是半徑分別為2和4的兩個同心圓，O為圓心；圖③是正六邊形，點P為其中心）各有一個玻璃小球，依次搖動三個游戲盤后，將它們水平放置，就完成了一局游戲.

[M][N][O][P][①][②][③][圖2]

（1）一局游戲后，這三個盤中的小球都停在陰影部分的概率是多少？

（2）用隨機變量ξ表示一局游戲后，小球停在陰影部分的事件數與小球沒有停在陰影部分的事件數之差的絕對值，求隨機變量ξ的分布列及數學期望.

[牛刀小試]

破解思路 解決本題的關鍵首先要理解好題意，將其歸結為“測度”為面積的幾何概型；另外一定要認真審題.

精妙解法 （1）“一局游戲后，這三個盤中的小球停在陰影部分”分別記為事件A1，A2，A3 .

由題意知，A1，A2，A3互相獨立，且P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=，

所以“一局游戲后，這三個盤中的小球都停在陰影部分”的概率為P（A1A2A3）=P（A1）P（A2）P（A3）=××=.

（2）一局游戲后，這三個盤中的小球停在陰影部分的事件數可能是0，1，2，3，相應的小球沒有停在陰影部分的事件數可能取值為3，2，1，0，所以ξ可能的取值為1，3.

由分析可得P（ξ=3）=P（A1A2A3）+P（）=P（A1）P（A2）P（A3）+P（）P（）P（）=××+ ××=；

P（ξ=1）=1-=.

所以ξ的分布列為：

[ξ＼&1＼&2＼&P＼&＼&＼&]

數學期望Eξ=1×+3×=.

（★★★★★）必做6 甲有一個裝有x個紅球、y個黑球的箱子，乙有一個裝有a個紅球、b個黑球的箱子，兩人各自從自己的箱子里任取一球，并約定：所取兩球同色時甲勝，異色時乙勝（a，b，x，y∈N?）.

（1）當x=y=3，a=3，b=2時，求甲獲勝的概率；

（2）當x+y=6，a=b=3時，規定：甲取紅球獲勝得3分；取黑球獲勝得1分；甲負得0分，求甲得分的數學期望達到最大時的x，y值；

（3）當x=a，y=b時，這個游戲規則公平嗎？請說明理由.

[牛刀小試]

破解思路 本題由課本例題改造.第（1）問是常規的古典概型的求解，甲獲勝的基本事件是甲、乙同紅或同黑. 第（2）問聯系最值問題，列出關系后，注意到x，y的整數條件，不可用均值不等式求解，應通過消元轉化為一元函數求解.第（3）問如何理解“游戲規則公平”性并轉化為概率大小問題求解是難點，可用作差法比較，本題還涉及分類討論的思想.

精妙解法 （1）由題意可得，甲、乙都取紅球的概率P1=×=，甲、乙都取黑球的概率P2=×=.

所以甲獲勝的概率P=P1+P2=+=.

（2）令ξ表示甲所得的分數，則ξ的取值為0，1，3.

P（ξ=1）==；

P（ξ=3）==；

P（ξ=0）=1-P（ξ=1）-P（ξ=3）=1-=.

得ξ的分布列如下：

[ξ＼&0＼&1＼&3＼&P＼&＼&＼&＼&]

于是Eξ=0×+1×+3×=.

又x，y∈N?且x+y=6，所以1≤x≤5，且Eξ=，

故當x=5，y=1時，Eξ的最大值為.

（3）法1：由題意，兩人各自從自己的箱子里任取一球比顏色共有C·C=（x+y）2種不同情形，每種情形都是等可能的，記甲獲勝為事件A，乙獲勝為事件B，則

P（A）==，P（B）==，

所以P（A）-P（B）=-=.

當x=y時，P（A）=P（B），甲、乙獲勝的概率相等，這個游戲規則是公平的；

當x≠y時，P（A）>P（B），甲獲勝的概率大于乙獲勝的概率，這個游戲規則不公平.

法2：由題意，兩人各自從自己的箱子里任取一球比顏色共有C·C=（x+y）2種不同情形，每種情形都是等可能的，記甲獲勝為事件A，則

P（A）==， 所以P（A）-=-=.

當x=y時，P（A）=，甲獲勝的概率恰為，這個游戲規則是公平的；

當x≠y時，P（A）>，甲獲勝的概率超過，這個游戲規則不公平.

法3：由題意，兩人各自從自己的箱子里任取一球比顏色共有C·C=（x+y）2種不同情形，每種情形都是等可能的，記乙獲勝為事件B，則

P（B）==，所以P（B）-=-=-.

當x=y時，P（B）=，乙獲勝的概率恰為，這個游戲規則是公平的；

當x≠y時，P（B）<，乙獲勝的概率小于，這個游戲規則不公平.

本考點主要考查離散型隨機變量及其分布列，考查離散型隨機變量的均值（數學期望 ）與方差，但抽樣方法、樣本數字特征、頻率直方圖、計數原理等都可融入這類試題中，因此試題的綜合性較強.試題一般以實際問題為背景，讀懂題目，理解實際問題中蘊涵的數學意義是解題的關鍵，準確規范表達也是十分重要的.

抽樣方法與總體分布的估計

（★★★★★）必做7 某中學高三年級從甲、乙兩個班級各選出7名學生參加數學競賽，他們取得的成績（滿分100分）的莖葉圖如圖3所示，其中甲班學生的平均分是85，乙班學生成績的中位數是83.

（1）求x和y的值；

（2）計算甲班7位學生成績的方差s2；

（3）從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，求甲班至少有一名學生的概率.

參考公式： 方差s2=[（x1-） 2+（x2-）2+…+（xn-）2]，其中=.

[甲][乙][5 x 0 8 1 1 y][ 8 9 7 6][ 6 2 9 1 1 6] [圖3]

[牛刀小試]

破解思路 第（1）問結合莖葉圖利用平均數和中位數這兩個概念可求出x和y的值. 第（2）問考查方差的計算公式. 對于第（3）問，先求得兩個班中90分以上的學生數，注意“至少”條件的要求，概率求解可用“列舉法”，也可用“間接法”.

精妙解法 （1）因為甲班學生的平均分是85，

所以=85，解得x=5.

因為乙班學生成績的中位數是83，所以y=3.

（2）甲班7位學生成績的方差為

s2=[（-6）2+（-7）2+（-5）2+02+02+72+112]=40.

（3）甲班成績在90分以上的學生有兩名，分別記為A，B；

乙班成績在90分以上的學生有三名，分別記為C，D，E.

從這五名學生任意抽取兩名學生共有10種情況：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）.

其中甲班至少有一名學生共有7種情況：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）.

記“從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，甲班至少有一名學生”為事件M，則P（M）=.

所以甲班至少有一名學生的概率為.

極速突擊 求解統計問題要善于形（直方圖、莖葉圖等）數（平均數、方差）結合；要注意頻數、頻率、概率，眾數、中位數等概念的區分，還應明白概率統計是應用數學，常與其他數學知識相結合突出其應用性，盡管考題不難，仍要在閱讀理解上多下文章.

（★★★★）必做8 某校在2012年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績，被抽取學生的成績均不低于160分，且低于185分，圖4是按成績分組得到的頻率分布直方圖的一部分（每一組均包括左端點數據而不包括右端點數據），且第3組、第4組、第5組的頻數之比依次為3∶2∶1.

[] [O] [160][165][170][175][180][185][0.01][0.02][0.03][0.04][0.06][0.07][0.08][0.05][成績][圖4]

（1）請完成頻率分布直方圖；

（2）為了能選拔出最優秀的學生，該高校決定在筆試成績較高的第3組、第4組、第5組中用分層抽樣的方法抽取6名學生進入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少名學生進入第二輪面試；

（3）在（2）的前提下，學校決定在6名學生中隨機抽取2名學生由考官A面試，求第4組至少有一名學生被考官A面試的概率.

[牛刀小試]

破解思路 （1）由各組的頻數之比可求出各組相應的頻數，進而求出頻率，完成直方圖即可. （2）利用分層抽樣的概念解題. （3）先求基本事件總的個數，再求滿足條件的基本事件的個數，即可得到相應概率.

精妙解法 （1）由題意知第1、2組的頻數分別為：100×0.01×5=5，100×0.07×5=35. 故第3、4、5組的頻數之和為：100-5-35=60，從而可得其頻數依次為30，20，10，其頻率依次為0.3，0.2，0.1，其頻率分布直方圖如圖5.

[O] [160][165][170][175][180][185][0.01][0.02][0.03][0.04][0.06][0.07][0.08][0.05][][成績][圖5]

（2）由第3、4、5組共60人，用分層抽樣抽取6人. 故第3、4、5組中應抽取的學生人數依次為：第3組：×6=3人；第4組：×6=2人；第5組：×6=1人.

（3）由（2）知共有6人（記為A1，A2，A3，B1，B2，C）被抽出，其中第4組有2人（記為B1，B2）. 有題意可知：抽取兩人作為一組共有（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C），（B1，B2），（B1，C），（B2，C）共15種等可能的情況，而滿足題意的情況有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），（B1，C），（B2，C）共9種，因此所求事件的概率為=.

（★★★★★）必做9 為普及高中生安全逃生知識與安全防護能力，某學校高一年級舉辦了高中生安全知識與安全逃生能力競賽.該競賽分為預賽和決賽兩個階段，預賽為筆試，決賽為技能比賽.先將所有參賽選手參加筆試的成績（得分均為整數，滿分為100分）進行統計，制成如下頻率分布表.

[分數（分數段）＼&頻數（人數）＼&頻率＼&[60，70）＼&9＼&x＼&[70，80）＼&y＼&0.38＼&[80，90）＼&16＼&0.32＼&[90，100）＼&z＼&s＼&合 計＼&p＼&1＼&]

（1）求出上表中的x，y，z，s，p的值；

（2）按規定，預賽成績不低于90分的選手參加決賽，參加決賽的選手按照抽簽方式決定出場順序. 已知高一（二）班有甲、乙兩名同學取得決賽資格.

①求決賽出場的順序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率；

②記高一（二）班在決賽中進入前三名的人數為X，求X的分布列和數學期望.

[牛刀小試]

破解思路 本題是一道概率與統計相結合的好題.第（1）小題首先要讀懂表格的意義，利用概念求頻數、頻率、概率等. 第（2）小題第①問是關鍵，它是“有序”的排列問題，應把“甲不在第一位、乙不在最后一位”分類為“甲在最后一位與不在最后一位”兩種情況來考慮，才不會重漏.第②問進入前三名的人數應在頻數為[90，100）中尋求，可根據第①問的思路分類求分布列.

精妙解法 （1）由題意， p==50，x==0.18，y=50×0.38=19，z=50-9-16-19=6，s==0.12 .

（2）由（1）知，參加決賽的選手共6人.

①設“甲不在第一位、乙不在第六位”為事件A，則P（A）==另解：P（A）=1-

=

，所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率為.

②隨機變量X的可能取值為0，1，2，

則P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==.

所以，隨機變量X的分布列為：

[X＼&0＼&1＼&2＼&P＼&＼&＼&＼&]

因為EX=0×+1×+2×=1，所以隨機變量X的數學期望為1.

本考點以實際問題為背景，考查頻率分布直方圖、莖葉圖和用樣本的數字特征估計總體的數字特征.要讀懂表格的意義，利用概念求頻數、頻率、概率等，進而作出直方圖；要弄清莖葉圖中“莖”和“葉”分別代表什么；要熟練掌握眾數、中位數、平均數、方差、標準差的計算方法.

回歸分析與獨立性檢驗

（★★★★★）必做10 現對某市工薪階層關于“樓市限購令”的態度進行調查，隨機抽調了50人，他們月收入的頻數分布及對“樓市限購令”贊成人數如下表.

[頻月收入

（單位百元）＼&頻數＼&贊成人數＼&[15，25）＼&5＼&4＼&[25，35）＼&10＼&8＼&[35，45）＼&15＼&12＼&[45，55）＼&10＼&5＼&[55，65）＼&5＼&2＼&[65，75）＼&5＼&1＼&]

（1）由以上統計數據完成下面2×2列聯表并問是否有99%的把握認為月收入以5500為分界點對“樓市限購令”的態度有差異；

[＼&月收入不低于55百元的人數＼&月收入低于55百元的人數＼&合計＼&贊成＼&a=＼&c=＼&＼&不贊成＼&b=＼&d=＼&＼&合計＼&＼&＼&＼&]

（2）若在[15，25），[25，35）被調查的人中各隨機選取兩人進行追蹤調查，記選中的4人中不贊成“樓市限購令”的人數為ξ，求隨機變量ξ的分布列.

附：K2=.[P（K2≥k）＼&0.15＼&0.10＼&0.05＼&0.01＼&k＼&2.072＼&2.706＼&3.841＼&6.635＼&]

[牛刀小試]

破解思路 本題背景為當今熱點問題.第（1）問考查獨立性檢驗的方法，應先從頻數分布表準確求得兩組不同類變量值，代入公式計算K2，并與臨界表的數進行比較判斷. 第（2）問考查離散型隨機量的分布列，難點在分解為若干個互相排斥或相互獨立、既不重復又不遺漏的簡單事件解決，因為抽取是“無序”的，可通過組合數的運算完成此小題.

精妙解法 （1）2×2列聯表如下：

[＼&月收入不低于55百元的人數＼&月收入低于55百元的人數＼&合計＼&贊成＼&a=3＼&c=29＼&32＼&不贊成＼&b=7＼&d=11＼&18＼&合計＼&10＼&40＼&50＼&]

K2==6.27<6.635，所以沒有99%的把握認為月收入以5500為分界點對“樓市限購令”的態度有差異.

（2）ξ所有可能取值有0，1，2，3，

P（ξ=0）=·=×=，

P（ξ=1）=·+·=×+×=，

P（ξ=2）=·+·=×+×=，

P（ξ=3）=·=×=.

所以ξ的分布列為：

[ξ＼&0＼&1＼&2＼&3＼&P＼&＼&＼&＼&＼&]

本部分內容是新課標數學的新增內容，主要考查線性回歸分析和獨立性檢驗的統計方法.

一般情況下，在尚未斷定兩個變量之間是否具有線性相關關系的情況下，應先進行相關性檢驗.在畫出散點圖并確認其具有線性相關關系后，再求其回歸直線方程；由部分數據得到的回歸直線，再對兩個變量間的線性相關關系進行估計.

獨立性檢驗的基本思想類似于反證明法.要確認“兩個分類變量有關系”這一結論成立的可信程度，首先假設該結論不成立，則在該假設下構造的隨機變量K2應該很小，如果由觀測數據計算得到的K2觀測值k很大，則在一定程度上說明假設不合理.