淺談化歸方法在數(shù)學(xué)解題中的運用

馬振團(tuán)

所謂化歸方法，是指將有待解決或未解決的問題，通過轉(zhuǎn)化過程，把這個問題變形，使之歸結(jié)為另一個熟知的、較容易解決的或者已經(jīng)能解決的問題，通過對它的解決，求得原問題的解決。化歸方法在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中應(yīng)用非常廣泛，是基本且典型的數(shù)學(xué)思想，是學(xué)生解決問題的有效方法之一。學(xué)會化歸方法，對學(xué)生解決問題能力的形成和發(fā)展有著十分重要的作用。現(xiàn)談?wù)劵瘹w方法在數(shù)學(xué)解題中的運用。

一、把“未知”化歸為“已知”

列方程解應(yīng)用題是將應(yīng)用題中要求的未知量用某個字母代替，把題中的問題（即未知量）暫時與條件同樣看待，從而把“未知”化歸為所謂的“已知”，然后再根據(jù)題設(shè)所反映的等量關(guān)系，列方程解答。

例如：一個三角形的面積是100平方厘米，它的底是25厘米，高是多少厘米？

分析：如果設(shè)高是x厘米，就是把題中的問題暫時與已知條件同樣看待，把“未知”化歸為“已知”。根據(jù)題意可知這道題的相等關(guān)系式是：

底×高÷2=三角形的面積。

解：設(shè)三角形的高是x厘米，則有：

25x÷2=100

x=8

答：這個三角形的高是8厘米。

二、把一種運算化歸為另一種運算

在分?jǐn)?shù)除法運算中，我們通常把分?jǐn)?shù)除法運算化歸為分?jǐn)?shù)乘法運算來完成。

例如：÷=×=。

分析： 對于異分母分?jǐn)?shù)加、減法的運算，我們可以先通分，轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)加、減法的運算，進(jìn)而化歸為整數(shù)（分子）的加、減運算來實現(xiàn)。

例如：+-=+-==。

三、把數(shù)的一種形式化歸為另一種形式

在分?jǐn)?shù)、小數(shù)四則混合運算中，可以把分?jǐn)?shù)化為小數(shù)，通過小數(shù)的運算來完成分?jǐn)?shù)的運算，反之也可以。這是利用數(shù)的兩種形式的化歸來實現(xiàn)問題的解決。

例如：2+8.5-6 或： 2+8.5-6

=2.75+8.5-6.125 =2+8-6

=11.25-6.125 =2+8-6

=5.125 =5

四、把一種圖形化歸為另一種或幾種圖形

這種化歸方法通常應(yīng)用于求組合圖形面積或體積的問題。組合圖形的結(jié)構(gòu)有兩種情況：一種是由幾個基本圖形組合而成；另一種是由一個基本圖形割出一個圖形而成。所以求組合圖形的面積或體積時，通過化歸，把它分割、添補(bǔ)或再組合，使其成為一個或幾個簡單圖形，再求其面積或體積，最后利用求它們的和或差來求得原題的解。

例如：求下圖中陰影部分的面積。（單位：厘米）

[O][O]

解析：要求陰影部分的面積，我們可以利用化歸方法，先把這個圖形從中間剪開，分成左右兩部分，再以點O為旋轉(zhuǎn)中心，將右半部分按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°到左半部分下方，變成另一種圖形。于是，陰影部分的面積便是半圓面積減去兩條直角邊（半徑）均是2厘米的一個空白等腰直角三角形面積的差。即：

3.14×（4 ÷ 2）2÷ 2-2×2÷2

=6.28-2

=4.28（平方厘米）

答：這個圖形的陰影部分面積是4.28平方厘米。

五、把一種關(guān)系化歸為另一種關(guān)系

在解答較難的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時，要根據(jù)已知條件中的分率確定不同的單位“1”，而且常常為尋找數(shù)量、分率的對應(yīng)，需要進(jìn)行關(guān)系的轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一單位“1”，從而化難為易。

例如：一批貨物，第一次運走總數(shù)的40%，第二次比第一次多運10%，兩次共運走了168噸。問這批貨物原來共有多少噸？

根據(jù)條件“第一次運走總數(shù)的40%”可知，把總數(shù)看做單位“1”；又根據(jù)“第二次比第一次多運10%”可知，把第一次運的數(shù)量看做單位“1”。為了把不同單位“1”轉(zhuǎn)化為相同的單位“1”，這道題可以這樣考慮：第二次比第一次多運10%，就是第一次的（1+10%），而第一次是總數(shù)的40%，所以可把第二次運的轉(zhuǎn)化為總數(shù)的40%×（1+10%），由此得到解題的途徑。

這樣解答，實際上是完成了一種關(guān)系向另一種關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即第一次運的與第二次運的之間的關(guān)系向第二次運的與總數(shù)之間的關(guān)系的轉(zhuǎn)化，使得問題解答能順利進(jìn)行。

綜上所述，教師在引導(dǎo)學(xué)生解決問題的過程中，應(yīng)有意識地培養(yǎng)學(xué)生的化歸意識，適時滲透化歸思想，讓學(xué)生掌握化歸方法，從而轉(zhuǎn)變原有的學(xué)習(xí)方式，提高學(xué)生獨立解決問題的能力。