變通轉化 拓展思維

薛志梅

《數學課程標準》指出：“培養思維能力并達到熟練運用是學生學習數學的重要目標之一；數學教學活動必須向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗。”由此可見，教學數學的目的應是培養學生思考的意識，拓展學生思維的寬度，使學生能應用所學知識解決實際問題，體會數學與自然及人類社會的密切聯系。那么，如何在教學中使學生掌握變通的方式，最后達到思維拓展的目的呢？

一、學法不變，教法變

許多教師在數學課堂中常常碰到這樣的問題：同類型的題目已經講了“一百零八遍”，講的時候學生回答得頭頭是道、口若懸河，可到下次練習時，題目稍作改動，學生仍不會解題，原因何在？思來想去，是因為教材中的范題少之又少，且教師只是就題講題，一旦題目發生變化，有的學生就會束手無策。這就需要教師善于引導學生探索，培養學生用變通的思維解決各種各樣的題目。

例如，教學“混合運算解決問題”時，有這樣一道習題：“6名學生去參觀書畫展出，共付門票30元，每人乘車用2元。平均每人花了多少錢？你還能提出什么數學問題？”有的學生順著原來問題的思路提出問題，如“每人付門票比乘車多幾元”等；有的則逆著原來問題的思路提出問題，如“一共付了多少元”等。在解決上述習題過程中，學生首先可以提出順向思考的問題，即仿照原來問題的格式、思考方向提出新的問題，再提出逆向思考的問題。可想而知，后者更具有挑戰性。在這樣提出問題的訓練中，培養了學生多角度、多方面思考數學問題的品質。

二、題目不變，解法變

學生學習數學，需要將數學思考和生活經驗有機結合，并運用數學的數理關系進行知識建構，將處于經驗水平的概念調整到大致相同的水平中來，從而獲得新知。

例如，蘇教版教材第十一冊第83頁有這樣一道例題：“嶺南小學六年級有45個同學參加學校運動會，其中男運動員占。女運動員有多少人？”出示例題之后，教師并沒有直接告訴學生必須用什么樣的方法解答，而是讓學生通過小組活動的方式自己嘗試解決。學生自己先獨立思考，然后小組交流，結果出現了以下多種解法。

解法1：45-45×

解法2：45×（1-）

解法3：45÷9=5（個）

解法4：45÷9=5（個）

5×5=25（個） 9-5=4 （份）

45-25=20（人） 4×5=20（人）

……

分析教材時，發現大綱要求學生掌握第一種方法，理解第二種方法，沒有涉及第三種方法。因此，教師應引導學生積累、整理與改造已有的經驗，靈活運用已經學過的知識，通過縱橫發散、知識串聯、綜合溝通等方式，將各種解法進行比較、優化，做到前后聯系、融會貫通。

三、關鍵不變，已知變

英國著名數學家阿蒂亞說過：“數學的目的就是用簡單、基本的詞匯去盡可能多地解釋世界。”解決問題范圍大，變化多，是數學中的“老大難”問題。因此，我們需要梳理知識發展路徑中的“主干”，在教學中抓住“牽一發而動全身”中的“一”，引導學生逐步推理，培養變通思維。

例如，學習解決稍復雜的百分數應用題之后，出示下面一組題目（把條件和相應的式子連起來），引導學生針對混淆的知識，進行綜合對比。

學校有足球60個， 。學校有排球多少個？

設學校有排球x個。

（1）比排球多20% 60+60×20%

（2）比排球少20% 60-60×20%

（3）排球的個數比足球多20% x-x×20%=60

（4）排球的個數比足球少20% x+x×20%=60

這道題條件在變，算式也在變，但解題的關鍵沒有變。學生只要抓住單位“1”的量，判斷單位“1”的量是已知的還是未知的，就能順利解決問題。單位“1”已知的用算術方法解題，單位“1”未知的用方程來解答，在這樣的基礎上思考，降低了解題難度，從而順利解題。

四、方法不變，題目變

我們的數學課堂，計算和推理是相通的。在數學的新知學習和日常學習中，題目千變萬化，但最終闡述的是解題的規律，讓學生通過直觀感知，由外到內、由感性到理性，在多層次比較后提出自己的新發現。因此，加強習題的變式訓練，可以讓學生更好地把握問題的實質，提高思維的靈活性，獲得知識的鞏固和提高。

如：“在方框里填運算符號，使兩邊相等。”

（1）984-332-168=984-（332□168）；

（2）984-597+397=984-（597□397）；

（3）984+597-397=984+（597□397）；

（4）984-597+397=984-（597□397）；

（5）984-（332+168）=984□332□168；

（6）984-（332-168）=984□332□168。

學生完成以后，引導他們比較辨析，找出變化的規律。這樣既使學生掌握一般的解題方法，又靈活運用算法解決問題，使計算合理簡便，培養了思維的靈活性與創造性。

五、信息不變，問題變

數學課堂的思維拓展，歸根結底是為了培養學生的解題能力。如果學生在課堂中將他們所獲得的經驗，以一種分享、討論的方式呈現，在此基礎上培養學生的經驗獲得能力與經驗改造能力，對學生思維能力的發展有著重要的意義。

例如，學習“分數乘除法應用題”后，可采用對比綜合的方式進行復習。首先，進行橫向比較。先出示“本班有女生20人”“男生30人”這兩個條件，要求學生根據這兩個條件提出與分數應用題有關的問題并解答。在反饋交流后，教師有意識地選擇“男生人數是女生人數的幾分之幾”“女生人數是男生人數的幾分之幾”“女生人數比男生人數少幾分之幾”“男生人數比女生人數少幾分之幾”這四個問題引導學生進行比較，復習“求一個數是另一個數的幾分之幾”中的數量關系與結構特征。其次，讓學生自編練習題并完成解答。在交流中，圍繞單位“1”、數量關系、結構特點、解題思路等方面新編四道題，在求同存異的分析比較中，引導學生弄清分數乘除法應用題之間的聯系和區別。

中科院院士、著名數學家張景中認為：“培養學生的變通思維，發現數學的具體規律，是我們一線教師應該注意的重要過程。”因此，課堂教學中，教師應當努力引導學生自己去挖掘興趣的源泉，讓他們在這個發現過程中體驗到自己思維的成功。所以，培養學生的思維和舉一反三的意識，教師需要為學生打開一扇窗。