給學(xué)生播撒數(shù)學(xué)思想的種子

張旻昊

“解決問題的策略——替換”一課的教學(xué)要求是讓學(xué)生在解決問題過程中初步體會(huì)“替換”，充實(shí)思想方法，發(fā)展解題策略?？梢钥闯?，“替換”這一內(nèi)容是要引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)換，達(dá)到解決問題的目的。教學(xué)過程中，我通過設(shè)境、預(yù)設(shè)、遷移、嘗試、檢驗(yàn)、比較、歸納、變式等環(huán)節(jié)，嘗試強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)。

1.設(shè)境

課始，我以《曹沖稱象》的故事引入“替換”策略：“曹沖是用什么巧妙的辦法稱出了大象的重量？”（把大象的重量替換成石頭的重量）這是學(xué)生本課第一次接觸“替換”這個(gè)關(guān)鍵詞，激起了學(xué)生思維的漣漪。通過創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣及進(jìn)一步探索新知的欲望，初步感知替換策略及其在實(shí)際生活中的應(yīng)用，感受到數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系。

2.預(yù)設(shè)

預(yù)設(shè)，是對已有認(rèn)知的喚醒，為實(shí)現(xiàn)與新知的鏈接做好準(zhǔn)備。在學(xué)習(xí)新知之前，從學(xué)生的已有知識和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，我設(shè)計(jì)了兩道復(fù)習(xí)題（或者叫過渡題）。這里，雖然向?qū)W生呈現(xiàn)的都是單一的數(shù)量關(guān)系，卻是后續(xù)學(xué)習(xí)時(shí)實(shí)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)換的基礎(chǔ)，為學(xué)生提供了思維暗示。

3.遷移

教學(xué)新知時(shí)，問題情境由復(fù)習(xí)題發(fā)展而來，省略了學(xué)生再次認(rèn)知的步驟，減緩了學(xué)習(xí)的坡度。課堂中，我讓學(xué)生將課本的例1和課始的兩道復(fù)習(xí)題相比較尋找區(qū)別，學(xué)生很快分辨出課始的兩道復(fù)習(xí)題只出現(xiàn)一種杯子，而例1出現(xiàn)了兩種不同的杯子，并且兩種杯子之間是3倍的關(guān)系。例題學(xué)習(xí)層層推進(jìn)，使學(xué)生的思考有了方向，解決問題的方法實(shí)現(xiàn)了遷移。于是，我進(jìn)行提問：“那你們準(zhǔn)備用什么策略來解決這個(gè)問題呢？”學(xué)生自然會(huì)想到“替換”，這是學(xué)生本課第二次給出“替換”這個(gè)答案，這時(shí)已經(jīng)成了學(xué)生思維的結(jié)果。

4.嘗試

當(dāng)學(xué)生有了“替換”這個(gè)解決問題的策略時(shí)，他們的思維還是朦朧的，還沒有形成“替換”這個(gè)過程的清晰思維，而這恰恰是課堂教學(xué)的關(guān)鍵之處。我通過一系列問題，幫助學(xué)生建立“替換”的思維過程：（1）你是怎么想的？（2）準(zhǔn)備怎么替換？（3）為什么可以這樣替換？（4）你能通過畫一畫、算一算的方法解決這個(gè)問題嗎？這組問題的核心是“為什么可以這樣替換”，目的是要讓學(xué)生明晰“替換”的依據(jù)是相等的數(shù)量關(guān)系，使學(xué)生明白“替換”僅僅是解決問題的方式，而這才是解決問題的本質(zhì)。

5.檢驗(yàn)

當(dāng)學(xué)生建立“替換”的思維過程，順利解決問題之后，我指出：“把6個(gè)小杯替換成2個(gè)大杯，或者把1個(gè)大杯替換成3個(gè)小杯，這樣做到底對不對，還需要檢驗(yàn)。”同時(shí)，強(qiáng)調(diào)檢驗(yàn)時(shí)要看結(jié)果是否符合題中的兩個(gè)已知條件，使學(xué)生認(rèn)識到檢驗(yàn)要從兩方面考慮，僅從一方面檢驗(yàn)是不全面的。這里，強(qiáng)調(diào)檢驗(yàn)是幫助學(xué)生端正學(xué)習(xí)態(tài)度的途徑之一，能培養(yǎng)學(xué)生追求真理的嚴(yán)謹(jǐn)精神，是學(xué)生所要擁有的數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵之一。

6.比較

課堂教學(xué)中，我引導(dǎo)學(xué)生討論：“把大杯換成小杯和把小杯換成大杯之間，有什么共同的地方？”這是本堂課第二次讓學(xué)生比較。第一次比較問題有什么區(qū)別，是為了凸顯新問題的特點(diǎn)，而這次比較則是為了尋找兩者間的共同點(diǎn)，以便對所學(xué)知識進(jìn)行歸納整理。比較是把學(xué)生思維引向深入的常用手段，也是科學(xué)研究的基本方法。課堂上恰當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，也是給學(xué)生播撒數(shù)學(xué)思想的種子。

7.歸納

生1：我是把大杯換成小杯，1個(gè)大杯可以換3個(gè)小杯，這樣9個(gè)小杯一共裝了720毫升的果汁，用720÷9=80（毫升）算出一個(gè)小杯的容量，再用80×3=240（毫升）算出一個(gè)大杯的容量。

生2：我是把小杯換成大杯，6個(gè)小杯可以換2個(gè)大杯，這樣3個(gè)大杯一共裝了720毫升的果汁，用720÷3=240（毫升）算出一個(gè)大杯的容量，再用240÷3=80（毫升）算出一個(gè)小杯的容量。

當(dāng)學(xué)生理解并掌握這兩種方法后，我引導(dǎo)學(xué)生得出：它們都是先通過替換把兩種量變成一種量再解決問題；在替換過程中，要抓住等量關(guān)系進(jìn)行替換；替換是解決問題的一種有效策略。這樣的歸納是學(xué)生認(rèn)知的進(jìn)一步理性化、系統(tǒng)化，便于學(xué)生知識的記憶和儲(chǔ)備。這是學(xué)生本堂課第三次認(rèn)識“替換”，已將解決問題的一種方法上升為策略并賦予了普遍適用的意義，會(huì)植根于學(xué)生的記憶中。

8.變式

學(xué)習(xí)例1之后，是對倍數(shù)關(guān)系的替換進(jìn)行鞏固，還是直接出現(xiàn)差數(shù)關(guān)系讓學(xué)生再次探究？我選擇了后者，因?yàn)椤疤鎿Q”作為一種策略，應(yīng)該讓學(xué)生經(jīng)歷“探索研究——?jiǎng)?chuàng)造性地運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)——重組新的認(rèn)識”的過程。于是我大膽地更換例題的條件，將“小杯的容量是大杯的1/3”改為“大杯的容量比小杯多160毫升”，有了前面替換的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生就能創(chuàng)造性地運(yùn)用已有知識解決問題。接著，我再適時(shí)地用表格呈現(xiàn)倍數(shù)關(guān)系與和差數(shù)關(guān)系替換的對比，讓學(xué)生明晰倍數(shù)關(guān)系替換后總量不變，而和差數(shù)關(guān)系替換后總量發(fā)生了變化，使他們能在更高的層面上掌握替換策略的要領(lǐng)。

通過“解決問題的策略——替換”一課的教學(xué)，使我更加明白了數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對學(xué)生來說，能使其終身受用的絕不僅僅是知識，數(shù)學(xué)思想方法的獲得更重要。