搭建并不陡峭的高度

邱寶華

近年來，筆者積極倡導(dǎo)教師用“理性教學(xué)”的理念推進(jìn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的改革，并把培養(yǎng)“基礎(chǔ)扎實(shí)、思維靈活、探索積極、視野開闊”的學(xué)生作為自己數(shù)學(xué)教育工作的終極目標(biāo)。在此過程中，我針對(duì)常見的教學(xué)做法進(jìn)行了創(chuàng)新思考和理性實(shí)踐。現(xiàn)整理成文，以求教于大方之家。

一、回到生活中尋找數(shù)學(xué)思考的力量和靈光

生活世界是人類的精神家園。當(dāng)我們一門心思地投入到科學(xué)世界的懷抱中的時(shí)候，不止一次地發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)的真理性認(rèn)識(shí)有時(shí)真的讓孩子們難以接受和理解，至于自如運(yùn)用就更是誠(chéng)惶誠(chéng)恐了。于是，我們?cè)谇靶械穆飞闲枰氐缴钍澜鐚で髱椭寯?shù)學(xué)學(xué)習(xí)生長(zhǎng)于斯，亦逝于斯。

1.尋求有用的問題和情境來探索

如教學(xué)《圓的認(rèn)識(shí)》的內(nèi)容，針對(duì)知識(shí)點(diǎn)瑣碎的情況，可以跳出課本框架，回到有價(jià)值的生活問題的探究，即用“為什么車輪是圓的”和“為什么用旋轉(zhuǎn)打開的容器，它的口子要做成圓形”這樣兩個(gè)問題支撐起整節(jié)課教與學(xué)的流程，把“對(duì)圓心、半徑、直徑的認(rèn)識(shí)，同一個(gè)圓中半徑相等、直徑相等且都有無數(shù)條，同圓中直徑與半徑的長(zhǎng)度關(guān)系，直徑為圓中最長(zhǎng)的線段以及如何畫圓”這些知識(shí)涵蓋其中進(jìn)行創(chuàng)造性教學(xué)。在探索解決兩個(gè)生活問題背后的數(shù)學(xué)道理和本質(zhì)解釋的過程中，學(xué)生不知不覺地“順便”學(xué)習(xí)了有關(guān)圓的知識(shí)，并獲得了深刻的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。如此設(shè)計(jì)，充滿新意，意蘊(yùn)深厚。

2.找到有力的事例和道理來支撐

如運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算時(shí)，經(jīng)常會(huì)有學(xué)生出現(xiàn)“65×5+35×5=（65+35）×5=65×5+35×5=325+175=500”的情況，此時(shí)，我則會(huì)借生活事例幫助學(xué)生理解算式變形的意義所在。如“小明的媽媽讓小明去廚房拿碗盛飯，等了半天，還不見小明過來。于是，媽媽去廚房看看小明在干什么，結(jié)果發(fā)現(xiàn)小明正在把飯盛進(jìn)碗里后又倒回鍋里，接著又盛起，又倒回。（學(xué)生哈哈大笑）你們說，把飯盛進(jìn)碗里是為了什么？（吃飯！）對(duì)，利用乘法分配律把5個(gè)65與5個(gè)35配成5組（65+35）的目的是為了簡(jiǎn)算。如果再‘倒回去，還能簡(jiǎn)算嗎？（不能！）”生動(dòng)的事例，帶給學(xué)生的不只是個(gè)中意義的理解，還有數(shù)學(xué)的“可愛”。像這樣來自生活世界的事例和道理還有很多。

3.覓得有效的方法和思想來超越

如“三角形的面積計(jì)算公式”的推導(dǎo)教學(xué)，教材的編排思路是讓學(xué)生先用兩個(gè)完全一樣的三角形（共三組，依次是直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形）試拼成平行四邊形，確信能拼成平行四邊形之后，讓學(xué)生用數(shù)格子的方法求出平行四邊形和每個(gè)三角形的面積，并填入表格內(nèi)進(jìn)行比較，從數(shù)據(jù)上發(fā)現(xiàn)三角形的面積是平行四邊形的一半。然后，思考它們的底、高有怎樣的關(guān)系，接著，在教師的引導(dǎo)下推導(dǎo)出三角形面積的計(jì)算公式。整個(gè)學(xué)習(xí)過程，有探究，有推理，學(xué)生可謂全程參與，但后續(xù)運(yùn)用公式時(shí)仍然會(huì)丟掉“÷2”。這表明，學(xué)生僅從形式上“一知半解”，缺乏對(duì)“÷2”的實(shí)際領(lǐng)悟。

我苦思之后得新法，終于取得實(shí)質(zhì)性的突破。首先，出示一粒大米和一架天平，讓學(xué)生稱出大米的重量。學(xué)生操作后發(fā)現(xiàn)，一粒大米的重量根本無法稱出，因?yàn)樘p了，隨即想到可以稱出10粒相同大米的重量，然后再除以10。接著，出示直角邊分別為4cm和2cm的直角三角形，讓學(xué)生計(jì)算它的面積。學(xué)生在先前稱一粒大米的方法和思想的基礎(chǔ)上，想到要求一個(gè)三角形的面積，可以先求兩個(gè)三角形的面積（即長(zhǎng)方形或平行四邊形），然后“÷2”即可。接著，再讓學(xué)生分別計(jì)算出底3cm、高2cm的銳角三角形和底4cm、高1cm的鈍角三角形的面積。三類三角形的面積計(jì)算之后，讓學(xué)生思考“三角形的面積如何計(jì)算”，進(jìn)而形成板書“三角形的面積=兩個(gè)三角形的面積÷2=底×高（即等底等高的平行四邊形的面積）÷2”。立足生活中問題解決的方法和思想的遷移，我和學(xué)生一起輕松巧妙地解決了這道教與學(xué)的難題。

二、立足數(shù)學(xué)的認(rèn)知體系縱橫貫通上下求索

眾所周知，數(shù)學(xué)知識(shí)具有較強(qiáng)的邏輯性和關(guān)聯(lián)度。我們把知識(shí)的習(xí)得根植于生活經(jīng)驗(yàn)之上的同時(shí)，怎樣才會(huì)不造成知識(shí)“碎片”的堆積呢？如何敞亮視角，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中“進(jìn)得去”，又“出得來”呢？這些問題的有效回答，將直接關(guān)系學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的牢固程度和靈活程度。

1.凸現(xiàn)知識(shí)建構(gòu)的生長(zhǎng)點(diǎn)和發(fā)展區(qū)

如六年級(jí)“確定位置”的教學(xué)，可由已學(xué)的相關(guān)知識(shí)“第幾排（組、層）第幾個(gè)”和“用數(shù)對(duì)表示某一點(diǎn)的位置”引出話題，指向航海等領(lǐng)域需要從方向和距離兩個(gè)方面確定物體所在位置的研究。進(jìn)而，讓學(xué)生充分感悟到離觀測(cè)點(diǎn)同樣距離的情況下，還是難以精確定位。例如，點(diǎn)的位置雖然都在北偏東的范圍內(nèi)，但仍有多個(gè)可能。為此，需要從北偏東的方向角的具體度數(shù)上加以考慮。這樣，方向的描述就有范圍和方向角兩個(gè)維度。教學(xué)完新知之后，還可以把數(shù)學(xué)思維引向三維空間中物體位置的確定，讓學(xué)生利用課余時(shí)間查一查資料，交流認(rèn)識(shí)再學(xué)習(xí)，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

2.展現(xiàn)廣闊的知識(shí)背景和研究方向

不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中。很多時(shí)候，我們把教與學(xué)的困惑放至更為廣闊的知識(shí)背景之下和大的研究方向之內(nèi)時(shí)，往往會(huì)有所啟發(fā)和創(chuàng)新。比如，關(guān)于植樹問題“找規(guī)律”的教學(xué)，很多教師極容易根據(jù)課本習(xí)題的類型分別展開教學(xué)，具體教學(xué)思路從板書1和板書2中可窺見一斑。而我的教學(xué)創(chuàng)新之處，就在于不是讓學(xué)生判斷碰到的問題是兩端相同，還是兩端不同，或者是封閉與否，而是讓學(xué)生自然地觀察和想象，確定是一一對(duì)應(yīng)的，還是對(duì)應(yīng)不完整，教學(xué)思路從板書3中可見端倪。

（板書1）

找規(guī)律

兩種物品 一個(gè)一個(gè)間隔排列

兩端數(shù) 間隔數(shù)

兩端一樣 10 9

8 7

12 11

封閉圖形 6 6

7 7

（板書2）

[找規(guī)律——間隔排列

兩端相同 兩端物體比中間物體多1][兩端不同

封閉圖形][物體個(gè)數(shù)相同][

]

（板書3）

[找規(guī)律

一一對(duì)應(yīng)：0—0—0—0—

—0—0—0—0

對(duì)應(yīng)不完整：0—0—0—0

—0—0—0 —] [0][0][0][0][0]

3.呈現(xiàn)另一個(gè)研究范式和理論框架

在研究“三角形面積的計(jì)算”時(shí)，我就思考這樣一個(gè)問題：教學(xué)有困惑時(shí)，我們需要突破，那沒有困惑時(shí)，要不要突破呢？比如，平行四邊形面積計(jì)算公式“底×高”，水平再差的教師教下來，學(xué)生也能理解并運(yùn)用。但學(xué)生是記住的，還是理解的呢？理解的程度是單一淺層，還是多元深度呢？“底×高”的知識(shí)到底能在學(xué)生的哪個(gè)認(rèn)知深處可以生發(fā)？其實(shí)，平行四邊形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)由長(zhǎng)方形面積推導(dǎo)得出，是數(shù)學(xué)知識(shí)由特殊推廣到一般的典型形式（長(zhǎng)方形本為平行四邊形，長(zhǎng)即底，寬即高），完全可以在長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式的由來之處尋得答案，即一排的面積單位數(shù)×排數(shù)=總面積數(shù)。在一定程度上，生活世界和數(shù)學(xué)世界所有兩個(gè)數(shù)量的相乘，都可以看成是二維空間矢量的相乘，都是“一排數(shù)×排數(shù)=總數(shù)”的擴(kuò)展和變化，“底×高”也不例外。因此，考慮到“底”、“高”這兩個(gè)維度時(shí)，可以把底和高均為整厘米數(shù)的平行四邊形等分成多個(gè)面積為1平方厘米的小平行四邊形，這在教科書帶有網(wǎng)格背景的圖形上是可以將小平行四邊形轉(zhuǎn)化為面積1平方厘米的正方形進(jìn)行佐證和理解的。如此嘗試和改進(jìn)，帶給學(xué)生的是全新的研究范式和理論框架。

三、啟用歷史發(fā)展的維度審視教學(xué)疑難困惑

數(shù)學(xué)是人類文化的一部分，它伴隨人類的發(fā)展而發(fā)展，逐漸變得愈加科學(xué)和成熟。無論是陳述性知識(shí)（如數(shù)學(xué)的概念、性質(zhì)、法則、定理等），還是程序性知識(shí)（如運(yùn)算、數(shù)據(jù)處理、推理、作圖、制表等），抑或是策略性知識(shí)（如數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)觀念等），在其內(nèi)化的過程中，必然出現(xiàn)一系列“是什么”“為什么”“怎么做”的疑難或困惑，還有各種不準(zhǔn)確的表達(dá)，不正確的操作，不合理的策略等失誤或錯(cuò)誤。而這猶如歷史發(fā)展的演變進(jìn)程，此時(shí)如果能用歷史的眼光來了解和分析數(shù)學(xué)知識(shí)，構(gòu)建“活”的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，對(duì)學(xué)生而言，將會(huì)具有特殊的重要作用和特別的學(xué)習(xí)意義。

1.追溯陳述性知識(shí)的歷史源頭

如認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)時(shí)，教師若只是略加說明 “+” 為正號(hào)，“-”為負(fù)號(hào)，肯定會(huì)讓學(xué)生覺得又多了一個(gè)要記憶的東西而已。為什么正號(hào)是“+”，而負(fù)號(hào)是“-”？其實(shí)是可以追尋其歷史的。據(jù)說，中世紀(jì)的歐洲酒商在售出酒后，曾用橫線標(biāo)出酒桶里的存酒，而當(dāng)桶里的酒又增加時(shí)，使用豎線條把原來畫的橫線劃掉，于是出現(xiàn)了表示減少的“-”和用來表示增加的“+”。當(dāng)學(xué)生看到和觸摸到正號(hào)、負(fù)號(hào)的“體溫”和“生命”之后，就會(huì)形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)感受，而不是只當(dāng)作數(shù)學(xué)常識(shí)來記憶了。

2.還原程序性知識(shí)的發(fā)展軌跡

例如《乘法的初步認(rèn)識(shí)》的教學(xué)，可以讓學(xué)生嘗試把相同數(shù)的連加算式寫得更簡(jiǎn)單。學(xué)生在算式“+”之間加上“……”或“等等”時(shí)，自然、真實(shí)地體會(huì)到好的寫法應(yīng)該清楚地表示出“一個(gè)加數(shù)”和“有幾個(gè)加數(shù)”。如此，學(xué)生對(duì)乘法的意義就有了一定的理解，乘法算式的寫法也就水到渠成了。逐步把連加算式寫簡(jiǎn)便的“仿史”過程，雖然無法從數(shù)學(xué)史中直接獲取，但依據(jù)萌芽時(shí)期的數(shù)學(xué)源于生活常識(shí)、生活中“寫簡(jiǎn)單”的事理，用歷史發(fā)展的眼光還原其歷程，能讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)的深刻和抽象實(shí)際上孕育在具體和直觀之中。

3.揭示策略性知識(shí)的思想本質(zhì)

如《角的度量》的教學(xué)，傳統(tǒng)教學(xué)往往是先認(rèn)識(shí)量角器和角的計(jì)量單位“度”，接著教學(xué)量角的方法“對(duì)點(diǎn)、對(duì)邊、讀刻度”，最后就進(jìn)行大量的練習(xí)。結(jié)果不少學(xué)生仍不會(huì)擺量角器，即使擺好了量角器也不會(huì)讀刻度，內(nèi)圈和外圈分不清。我以為，此內(nèi)容看似是程序性知識(shí)，但本質(zhì)上還是策略性知識(shí)。因?yàn)榻堑亩攘康乃枷氡举|(zhì)是“看對(duì)象中含有多少個(gè)單位小角”和“量角器的本質(zhì)是單位小角的集合”。怎樣揭示呢？可以這樣：⑴由角的大小的意義引出可以用單位角來度量角的大小；⑵由單位角的使用的不便引出要把單位角合并為半圓工具；⑶由這種半圓工具度量不準(zhǔn)確引出要把單位角分得更細(xì)些；⑷由細(xì)分后的半圓工具讀數(shù)不便引出要加刻度，進(jìn)而引出兩圈刻度。

四、跨越成人視角的邊界真誠(chéng)地向兒童學(xué)習(xí)

信奉兒童理論的教育工作者都贊同，每一位兒童的個(gè)體潛能都是巨大無比的，他們不僅會(huì)被動(dòng)視聽和思考，他們還會(huì)創(chuàng)造“奇跡”。在一定意義上講，我們走近兒童，走進(jìn)他們的生活、言語和心靈的世界，就是走向神奇。我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)創(chuàng)新實(shí)踐的過程中，更不應(yīng)該忘記這一點(diǎn)。

1.淺顯的表述方式和理解路徑可能源自兒童

如講解題目“甲、乙兩人共有零花錢16.5元，甲的零花錢是乙的4倍。甲、乙各有零花錢多少元”時(shí)，教師習(xí)慣于如此講解：“把乙的錢看成1份，甲的錢就是4份，兩人合起來就是5份，5份是16.5元，那用‘16.5÷5就得到1份的錢，也就是乙的錢數(shù)，然后再求甲的錢數(shù)。”學(xué)生又是怎么想的呢？ “甲的零花錢是乙的4倍，可以把甲看成4個(gè)乙，這樣，16.5就是5個(gè)乙的錢數(shù)。用‘16.5÷5得乙，然后再乘4得甲”。不難發(fā)現(xiàn)，教師的表述機(jī)械、冰冷和繁瑣，而學(xué)生的表述淺顯、溫情和簡(jiǎn)單，并且憑著數(shù)學(xué)直覺就已經(jīng)用上了數(shù)學(xué)思想——替換。

2.鮮活的學(xué)習(xí)資源和深刻見解可能出自兒童

例如，在學(xué)習(xí)解決問題的策略“一一列舉”時(shí)，對(duì)例題“旅游團(tuán)23人到旅館住宿，共安排了5個(gè)3人間和一些2人間（每個(gè)房間不能有空床位）。你知道安排了幾個(gè)2人間嗎？”的學(xué)習(xí)，學(xué)生就有比成人感受新知更敏銳細(xì)膩的出色表現(xiàn)。當(dāng)時(shí)的情形是這樣的，我和學(xué)生根據(jù)不同的思考角度，分別從只住1個(gè)3人間和1個(gè)2人間想起，通過一一列舉得到了4種不同的安排方法（見表格一和表格二）。接著，比較兩張表格，目的僅是讓學(xué)生明白“先考慮3人間比較簡(jiǎn)便，只需要列舉7種情況，而第二種方法要列舉10次”的道理。可是，部分學(xué)生卻把我引向了思考的“更深處”：第一個(gè)表格中，下面一排的數(shù)用前一個(gè)數(shù)減3就能得到下一個(gè)數(shù)，并且3正好是我們首先考慮的房間人數(shù)。第二個(gè)表格中，下面一排的數(shù)用前一個(gè)數(shù)減2就能得到下一個(gè)數(shù)，也正好對(duì)應(yīng)著表格左上角的房間人數(shù)。對(duì)此，我們?cè)诒砀袢幕A(chǔ)上就“3人間增加的6人來自2人間少掉的6人”展開了探討“一一列舉”的深度內(nèi)涵和哲學(xué)意義的學(xué)習(xí)活動(dòng)。

表格一

[3人間/間＼&1＼&2＼&3＼&4＼&5＼&6＼&7＼&2人間/間＼&10＼&—＼&7＼&—＼&4＼&—＼&1＼&]

表格二

[2人間/間＼&1＼&2＼&3＼&4＼&5＼&6＼&7＼&8＼&9＼&10＼&3人間/間＼&7＼&—＼&—＼&5＼&—＼&—＼&3＼&—＼&—＼&1＼&]

表格三

[3人間/間＼&1＼&2＼&3＼&4＼&5＼&6＼&7＼&2人間/間＼&10＼&—＼&7＼&—＼&4＼&—＼&1＼&][（3-1）×3=6][（10-7）×2=6]

3.有效的組織形式和反饋方法可能來自兒童

稍有些教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的教師都知道，如果課堂教學(xué)的組織形式不能“黏住”學(xué)生的話，低年級(jí)的學(xué)生會(huì)“吵鬧”，高年級(jí)的學(xué)生則會(huì)“沉悶”；如果反饋方法效能低下，課上師生可能相安無事，感覺甚好，但課后作業(yè)則會(huì)問題多多。教師沒有足夠好的形式和方法的時(shí)候，不妨多向?qū)W生虛心請(qǐng)教，其實(shí)他們的高招多得很！如，“老師，你可以讓我們先悄悄地說給同桌聽，然后你再講解，接著‘揪出說錯(cuò)的人，讓他（她）再說一說。”“老師，你可以找?guī)讉€(gè)人互相問一問，了解一些實(shí)際情況，再讓我們小組合作探究。”“讓我們自己先量一量，比一比，想一想，你不要著急！”等等。