數學有效教學：從兒童的認知基礎出發

荀步章

經常聽到這樣的公開課：新課開始，教師就針對課堂中最核心、最困難的問題發“問”，全班很多同學都舉起了手，見到這種情況，教師遲疑了一下，并沒有請學生回答，而是說：“通過這節課的學習，我們就可以回答這些問題了。”然后按照原先的教學預設講了下去。從教的角度來看，各個知識點都講到了，應該說“完成”了教學任務。從學的角度來看，教師沒有考慮到學生已有的數學知識和經驗，輕視了學生的認知基礎，課堂教學時間沒有得到充分利用，課堂效率大大降低。

一、 關注兒童認知基礎——實施有效教學的根基

案例1：“認識分數”教學片斷

為了突破教學難點——“單位‘1的理解”，教師展開了以下“課堂活動”：

教師邀請四名學生走上講臺做“活動”。

師：投影儀上放有一堆棋子，共4顆，平均分成四份。（甲拿走一份）你拿走了幾顆？1份是這堆棋子的幾分之幾？剩下的是這堆棋子的幾分之幾？你是怎么想的？

接著，教師把棋子換成8顆，16顆，讓學生繼續思考。

比較：這三次平均分棋子的過程，什么在變，什么沒變，為什么？

二、 掌握兒童認知基礎——實施有效教學的前提

案例2：“小數乘整數”教學片斷

出示買東西的情境圖（圖略）：

生：要求4塊蛋糕一共多少元，用0.9×4，但這個還沒學過。

師：0.9×4到底等于多少？你能聯系已經學過的知識先想一想、算一算嗎？

（學生獨立思考后，在練習本上嘗試計算。）

師：誰先來匯報？

生：0.9×4就是4個0.9相加，0.9+0.9+0.9+0.9=3.6（元）。

生：0.9元=9角，9×4=36（角），36角=3.6元。

師：咱們班的同學可真了不起，想出了這么好的辦法來解決這個新問題。老師聽出來了，你們在不知不覺中把新問題轉化成了舊知識。

師：把新問題轉化成已經學過的舊知識，這種方法就叫化歸法。在今后學習數學時，經常會用到這種方法。那么求3瓶花用多少錢，怎么列式？

生：3.2×3。

師：對于3.2×3，請同學們也大膽地算一算，等于多少呢？

……

計算“0.9×4”，學生沒有知識儲備，教師創設了一個買東西的情境，根據學生已有的認知基礎：元、角、分的互化，小數加法等，學生運用已掌握的知識進行巧妙轉化，解決了一道小數乘法計算題。其間教師還適當滲透了數學中的化歸思想，這種“化歸”思想在學生今后解決新問題的過程中，會經常用到。教師在設計情境時，能夠抓住學生的知識基礎，使學生在情境與學習內容的結合中產生聯想和共鳴，自然而然地領悟學習內容。由此可以看出：一個新概念的建立，一個新知識點的學習過程中，兒童原有的認知基礎起著不可低估的作用。

三、 發展兒童認知基礎——實施有效教學的保證

案例3：“三角形兩邊之和大于第三邊”教學片斷

師：通過課前預習，你們還知道了什么？

生：三角形兩邊之和大于第三邊。

師：三根小棒分別長8厘米、4厘米、3厘米，這三根小棒能圍成一個三角形嗎？

生：能圍成三角形。

生：不能圍成三角形。

（學生中出現兩種不同聲音，并進行爭論。）

師：對這個問題出現了兩種不同的意見，怎么辦？

生：拿三根小棒擺一擺，就真相大白了。

師：辦法不錯，在信封中老師幫你們準備了這樣的三根小棒，同桌一起拿出來擺一擺。

師：實踐出真知，這三根小棒真的圍不成三角形。兩邊之和4+8=12厘米不是大于第三邊3厘米嗎？怎么圍不成三角形呢？

（結論與實踐發生了沖突，教室頓時安靜下來，學生處于靜思默想中，接著有同桌小聲地交流，終于有學生發現并舉手。）

生1：4+8=12是大于3厘米的第三條邊，但4+3=7厘米卻小于8厘米的第三條邊，這兩根小棒加起來不足8厘米，所以圍不成三角形。

生2：我知道了，任意兩條邊的長度和大于第三條邊，才能圍成三角形。

生3：1號邊加2號邊大于3號邊；2號邊加3號邊大于1號邊；3號邊加1號邊大于2號邊。

生：任意兩條邊的和要大于第三條邊。

學生通過預習教材，對“三角形兩邊之和大于第三邊”這一結論的理解是表面的、膚淺的。于是教師創設情境：用4厘米、8厘米、3厘米的三條線段，能圍成一個三角形嗎？據此，把兒童原生態的認知展現出來。課堂上出現了不同的聲音，怎么辦？讓學生動手用小棒擺一擺，通過實踐檢驗猜想是否正確。當學生的理解與實踐產生沖突時，這就需要思考問題原因所在，4厘米加3厘米這兩條邊沒有大于第三條邊，學生通過互動交流、動手實踐，領悟到“三角形任意兩邊之和大于第三邊”的特征，思維也從膚淺走向深刻。每個兒童都有自己的生活經驗和知識基礎，面對同一個問題都有各自不同的思維方式，教師只有充分意識到這一點，才能最大限度地激發兒童的創造性。

四、 豐富兒童認識基礎——實施有效教學的追求

案例4：“比的認識”教學片斷

師：（出示下圖）選出你認為最美的長方形。

幾乎所有學生都選擇了1號、3號和5號長方形。

師：其實，早在一千多年前，德國心理學家費希納也做過類似的實驗，而評選的結果與我們剛剛的評選結果不謀而合，這些長方形為什么會被大家公認為是最美的，其中的奧秘到底在哪兒呢？

師：想一想并交流，你覺得一個長方形美不美，主要跟什么有關？

生1：跟它的形狀有關。

生2：最好不要太瘦，也不要太胖。

生3：長方形美不美與它的大小并沒有什么關系。

生4：似乎跟長方形長與寬的倍數關系有關。

師：確實，長方形的美與它的長與寬之間的倍數關系有著密切的關系。同學們不妨試著尋找1號、3號和5號這三個長方形各自的長與寬的關系，看看最后的結果有沒有什么規律？

學生試算，并交流。

一個美的長方形，它的寬與長的比值基本上都會保持在0.618左右，這就是數學史上著名的黃金比。

教師考慮到學生已有的認知基礎，以學生為主體，致力于培養學生在學習過程中的自主性和參與性，設計具有探究空間的問題，引導學生自主探究。讓學生“觀察長方形——猜測誰最美”，讓學生經歷自主探究、合作交流的過程，其價值遠不止其結果——獲得的知識，而在于其過程——探究的過程帶給學生身心的愉悅，帶給學生對數學的情感。從兒童視角出發，聯系“比”在現實生活中的實際應用，對教材進行了深加工，從而使“比的意義”這一抽象的數學知識深深植根于現實生活與美的土壤中，煥發出絢麗的教育魅力。

五、提升兒童認知基礎，實施有效教學的目標

案例5：“角的分類”教學片斷

師：（語調緩慢，若有所思）這個同學提出的問題，我覺得很有研究價值。同學們，你們還有哪些疑問？不妨提出來，我們一起來交流。

生1：0度的角與360度的角，我們在觀察中如何去確定？

生2：書上講，一條射線繞它的端點旋轉一周，所組成的角叫周角。那么，如果旋轉兩周，是不是叫兩周角？

生3：老師，有沒有0度的角？

（課堂里有輕微的議論聲。）

生：周角箭頭是按逆時針方向標注的。能不能按順時針方向標注呢？

生5：老師，書上講小于90度的角稱為銳角，那么0度的角是銳角嗎？我覺得，這個定義不確切，應改為：大于0度小于90度的角，叫做銳角。

讓學生帶著問題走進教室，再讓學生帶著問題離開教室，應該是有效課堂的標志之一。教師留下一定的時間讓學生質疑問難，時間雖短，但可以給學生一個提升自我的機會。上述案例中，學生提出的問題，是教師意想不到的，這些問題喚醒了學生新的思考。學生已經清楚的知識不必再講，學生不清楚的、未知的，在教學中應作為關鍵點來突破，從而使教學實現了從課本、教師為中心到以學生的學習、發展為中心的轉化。所以，教師只有了解了學生原有的知識結構，意識到學生已有的知識和經驗的重要性，才能真正做到有的放矢，真正實現有效教學。