由均值不等式聯想到關于高中數學教學的思考

秦宏

一

均值不等式作為中學教學的基本內容之一，它是證明不等式及求各類最值的一個重要依據和方法，應用廣泛，且與實際生活聯系非常密切.但均值不等式在求取值范圍時，只能限制一端而不能限制另一端.

比如：已知x>0，y>0且2x+2y=1，求■+■的最小值.

解：■+■=（■+■）×（x+2y）=3+■+■≥3+2■.

當且僅當2y■=x■，即x=■-1，y=1-■時取到最小值.

但若把此題改為：已知x>0，y>0且x+2y=1，求■+■的取值范圍.此時使用均值不等式只能求出它的最小值，而它的另一端就沒辦法用均值不等式處理，可這樣處理：

解：由題意得：2y=1-x

則■+■=■+■=■+■=■（0

設t=x+1（1

∴■+■=■=■=■

又∵2■≤t+■<3，∴0<-（t+■）■+3≤3-2■

■+■≥3+2■

又比如：已知正數a，b滿足a+b=2，求ab+■的范圍.

分析：可先求出0

錯誤解法：設ab=1（1

ab+■=t+■≥2

正確解法：設ab=t（0

設0

∵00

∴f（t■）-f（t■）>0，即f（t■）>f（t■）

∴f（t）在（0，1]上為遞減函數

∴f（t）≥5

即ab+■≥5

因此筆者認為，在使用均值不等式求取值范圍時，要合理地使用，如果在使用均值不等式求出取值范圍一端時，不能知道另一端，就要避免均值不等式的使用.

二

基本不等式是高考的C級考查點，教師在教學中要非常重視，注意對基本不等式求最值的三個條件的把握.

1.發展學生的觀察力，強化好奇心，培養學生勇于質疑的精神.觀察是人們全面、深入、正確地認識事物的一種過程，是學生認識世界、增長知識的主要途徑.常言道：“善觀察者，可以見常人所未見；不善觀察者，入寶山空手而回.”如科學巨匠牛頓、愛因斯坦和偉大的發明家愛迪生，不僅具有驚人的觀察力，而且具有強烈的好奇心.教師要善于引導和啟發學生從熟視無睹、習以為常的現象中發現新東西.這樣做不僅能發展學生的觀察力，強化學生的好奇心，而且能加強學生對知識的理解和數學思想方法的掌握.建立促進學生全面發展和教師不斷提高的有效評價體系，加強教師自我反思、改進課堂教學行為是打造高效課堂的重要著手點.教師應對學生敢于大膽發問、敢于表達不同意見給予充分肯定，培養學生敢于探索、勇于質疑的科學態度.教師對待異議要虛懷若谷，要善于挖掘閃光點，捕捉瞬時評價時機，使用準確、規范的語言，恰如其分的動作表情來實施課堂評價.在重視對學生評價的同時，教師應在課后對自己的教學行為進行積極的反思，不斷改進自己的教學行為.營造合作研究的氛圍，同時把評價的標準交給學生，聽取學生對學科教學的感受和意見.這樣既能了解學生掌握知識的程度，發展學生的智力，又能及時解決學生中存在的問題，以達到整合提高的效果.

2.以“構造”為載體，通過建模訓練，培養學生利用均值不等式的能力.素質教育的目的是“培養學生的創新能力與實踐能力”，而應用能力的培養是實現創新能力與實踐能力的重要途徑.對于數學應用，不能僅看做是一種知識的簡單應用，而是要站在數學建模的高度來認識，并按數學建模的過程來實施和操作，要體現數學的應用價值，就必須具有建立數學模型的能力.但模型的構造并不是一件容易的事，需要有足夠強的構造能力，而學生構造能力的提高則是學生創造性思維和創新能力的基礎，創造性地使用已知條件，創造性地應用數學知識.

3.在均值不等式教學中要通過一題多解和一題多變，培養學生的創新精神.在數學教學中，對例題的選擇要有針對性，尤其要注意進行一題多解的訓練，引導學生對原理進行廣泛的變換和延伸，盡可能地延伸出相關性、相似性的新問題，以達到進一步發展學生創造性思維的目的.課本中的例題是知識的精華，具有典型性和示范性.但由于例題作為新知識的應用，往往其解題涉及的知識都與本節所學內容有關，學生也習慣與本節內容掛起鉤來，抑制了思維的全面展開.長此以往，不利于學生創新精神的培養.教師在例題教學中應該敢想別人認為不可能的事，樂于新的嘗試，善于獨辟蹊徑，注意新舊知識的相互聯系，使解題達到簡化、優化.

4.要讓學生積極參與，要實施開放式教學.諾貝爾物理學獎得獎者李政道說：“學問，就是學習問問題，但是，在學校里學習一般是讓學生學答，學習如何回答別人已經解決了的問題.”這段話發人深省，令人深思.學校主要教學“答”，提問的權利掌握在老師手中，我想這也是我國中學生缺乏創新能力的一個重要原因.因此，在教學方法上的創新，應突出體現在問題提出和解決方法上，即老師提出問題的方法和引導學生提出質疑的思維方法.教學的首要環節不是向學生展示知識點，而應是精心組織材料，創造性地設計問題，激發學生的參與意識，培養學生的探究精神和創新能力.學生較自由地思維和表達，在“心理安全”的條件下進行創新思維和想象.讓學生在學習過程中敢于標新立異，在“心理自由”的條件下培養求異思維、聚合思維、逆向思維等多種思維方式.建立和諧的師生關系，營造創新的氛圍.只有師生關系和諧，才能使他們的心理距離接近，心情舒暢，才有可能使學生的創新精神獲得最大限度的表現和發展.陶行知先生說：“只有民主才能解放最大多數人的創造力，而且使最大多數人之創造力發揮到最高峰.”教師要以自己真誠的情感與學生交流.當一個學生能完成某項任務時，他就會感到自己有能力，能勝任，感到自尊、自信，會激起他要做得更多更好的愿望.因此，教師要尊重每一個學生，保護每一個學生的獨創精神，哪怕是微不足道的見解，教師也要給予充分肯定，特別是對少數學習有困難的學生，更要加倍關注.要著力培養他們成功的心理、自信的心理.使每個學生相信自己能學習、會學習，“我能行”.也只有在和諧的課堂氣氛中，學生才能樹立起學習信心，體驗到成功的喜悅.

高中學生具有一定的獨立思考和分析問題、解決問題的能力，因此營造和諧課堂氛圍，調動學生的主觀能動性，利用課堂中例題的一題多解、一題多變，培養學生的思維能力和創造能力，使學生更好地發展自我，讓課堂教學更符合新課程要求.