試探用向量知識解高職高考解析幾何題

張素君

平面向量是高中數學的新增內容，也是新高考的一個亮點。向量知識、向量觀點在數學、物理等學科的很多分支有著廣泛的應用，它具有代數形式和幾何形式的“雙重身份”，能融數形于一體，能與中學數學教學內容的許多主干知識綜合，形成知識交匯點。而在高中數學體系中，解析幾何占有著很重要的地位，有些問題用常規方法去解決往往運算比較繁雜，不妨運用向量作形與數的轉化，則會大大簡化過程。

從對重慶市近年來三校生高考試題的分析研究發現，平面向量這一章的知識內容在中職對口升學高考中的分值比例仍然較高，約占全卷滿分的10%（20分）左右。中學生應該掌握并會靈活運用一些基本的向量知識，高中數學新教材（試驗修訂本）加入平面向量這一獨立成章的內容，是非常必要的。同時，借助平面向量的知識解題，即所謂的向量法，為解數學題提供了一種獨特的思考方法。下面我們就用向量法，借助向量的有關知識，來探討一下2007年重慶市三校生高考的解析幾何題的新解法。

[2007年重慶市三校生試題（23）]已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為x軸，并且圖像經過點（1，2）。

①求拋物線的標準方程；

②求經過拋物線的焦點F且傾斜角為60°的直線L交拋物線于A、B兩點。求AB的長；

③經過點D（0，4）作直線交拋物線于M、N兩點，以線段MN為直徑作圓。試問圓能否經過原點？若能，求出此時直線MN的方程；若不能，請說明理由。

此例將平面向量、平面解析幾何、一元二次方程等知識融為了一體，解這類題的基本方法是：利用平面向量的坐標表示法，將問題中的平面解析幾何關系轉化為向量關系，又將向量關系轉化為代數關系，再根據解析幾何中的基本知識與方法求解。