《復(fù)變函數(shù)與積分變換》教學(xué)淺談

羅寧

摘 要：《復(fù)變函數(shù)與積分變換》作為高等院校相關(guān)專業(yè)的數(shù)學(xué)必修課，本文結(jié)合教學(xué)實踐，從強調(diào)歷史、以“熟”帶“新”、實例教學(xué)、MATLAB應(yīng)用等四個方面對教學(xué)內(nèi)容、手段、方式進行了研究和探討。

關(guān)鍵詞：復(fù)變函數(shù)與積分變換 教學(xué)實踐 改革

中圖分類號：G420 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2013）03（c）-0184-01

《復(fù)變函數(shù)與積分變換》作為高等院校力學(xué)、自動化、通信工程、測控技術(shù)與儀器等相關(guān)專業(yè)開設(shè)的數(shù)學(xué)公共課，它既是一門理論基礎(chǔ)課同時也是解決實際問題的有力工具，在其后續(xù)專業(yè)課程學(xué)習(xí)中有著非常重要的應(yīng)用。該課程的內(nèi)容特點是概念抽象、理論性強，涉及其它數(shù)學(xué)學(xué)科知識多為重點、難點（如高等數(shù)學(xué)中的曲線積分、級數(shù)等），同時淺顯易懂的應(yīng)用實例較少，這些都對我們的教學(xué)帶來很大的困難。特別，針對當下大學(xué)理工科教學(xué)中以應(yīng)用性作為著力點的背景，結(jié)合筆者所在學(xué)校《復(fù)變函數(shù)與積分變換》教改經(jīng)驗，我們在教學(xué)中做了積極有益的探索和實驗，取得了較好的效果。

1 強調(diào)歷史

不能孤立的講授《復(fù)變函數(shù)與積分變換》課程，作為一門數(shù)學(xué)學(xué)科，我們特別強調(diào)在授課中補充該課程數(shù)學(xué)史知識， 特別是學(xué)科產(chǎn)生背景和成熟歷程，因為對于這些知識的了解可以讓學(xué)生了解課程的發(fā)展思路，起到“知識再現(xiàn)”的作用，實現(xiàn)較快“入門”并建立和完善學(xué)科知識體系，同時也強化了學(xué)生對關(guān)聯(lián)學(xué)科的了解，加深了數(shù)學(xué)認知，進而培養(yǎng)起良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。例如，早在1545年，意大利卡爾丹解三次方程（代數(shù)問題）時，首先產(chǎn)生復(fù)數(shù)開平方的思想。17世紀到18世紀，復(fù)數(shù)開始有了幾何解釋，把它與平面向量對應(yīng)起來解決實際問題（幾何問題）。19世紀以后，隨著對實分析的認識深入，柯西、黎曼、魏爾斯特拉斯等人進一步拓展了復(fù)分析，從而形成了今天的復(fù)變函數(shù)論，在這個過程中，我們看到代數(shù)、物理、數(shù)學(xué)分析等相關(guān)學(xué)科給予它的促進和交互發(fā)展。同時，相關(guān)數(shù)學(xué)家的故事也不失為好的勵志典型，達到教書育人。

2 以“熟”帶“新”

從知識遷移的角度看，大學(xué)三門數(shù)學(xué)工具課《高等數(shù)學(xué)》延續(xù)了中學(xué)數(shù)學(xué)對函數(shù)的研究、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》中古典概型內(nèi)容中學(xué)就有涉及且主要應(yīng)用排列組合知識、《線性代數(shù)》中依然把線性方程組作為主要研究對象，對于這一點，我們看到在《復(fù)變函數(shù)與積分變換》概念中不乏復(fù)數(shù)、極限、連續(xù)、級數(shù)這樣的“老面孔”，重要的是復(fù)變函數(shù)的解析性也和實值函數(shù)可導(dǎo)（即滿足柯西—黎曼方程）相關(guān)，心理學(xué)家奧蘇伯爾就把學(xué)生原有的認知結(jié)構(gòu)看成是實現(xiàn)遷移的最關(guān)鍵因素，因此，這些“熟”內(nèi)容一方面可以增加學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，同時也對他們適應(yīng)新的知識體系起到穿針引線作用。

3 實例教學(xué)

強調(diào)實例教學(xué)是我們教學(xué)實踐中的重要突破，我們在教學(xué)中盡可能的將課程中的相關(guān)概念與相應(yīng)專業(yè)中的術(shù)語相結(jié)合，同時穿插一些應(yīng)用實例作為課堂教學(xué)的補充，取得了很好的教學(xué)效果。例如，在信號處理上，模值|z|就表示信號的幅度，輔角arg（z）表示給定頻率的正弦波的相位，利用傅里葉變換可將實信號表示成一系列波的周期函數(shù)的和，這些周期函數(shù)均為復(fù)變函數(shù)，現(xiàn)實中，我們使用手機短信、移動電話都是它的應(yīng)用。

4 MATLAB應(yīng)用

復(fù)變函數(shù)中涉及很多復(fù)雜數(shù)值計算問題，引入MATLAB計算，可以加深理解，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力。下面我們來砍兩道簡單應(yīng)用。

（1）求復(fù)數(shù)的實部，虛部，輻角，模，共軛復(fù)數(shù)。

解：在MATLAB命令對話窗口輸入下列命令：

>> A=i^9+3*i^7+i+3

>> real（A）

ans = 3

>> imag（A）

ans =-1

>> angle（A）

ans =-0.3218

>> abs（A）

ans =3.1623

>> conj（A）

ans =3.0000 + 1.0000i

（2）計算積分，積分路徑C是連接由0到的線段。

解：由C的參數(shù)方程為：

≤≤

，由參數(shù)方程法得：

下面利用MATLAB來求積分：

>>syms t；

>> int（（t+i*t+i*t^2）*（1+t），0，1）

ans =5/6+17/12*i

本文依據(jù)《復(fù)變函數(shù)與積分變換》的課程特點，同時結(jié)合教學(xué)實踐，在教學(xué)內(nèi)容、形式、方式上做了有益探討。希望藉此，進一步探索工科數(shù)學(xué)課程應(yīng)用化教學(xué)的課堂設(shè)計。

參考文獻

[1] 鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2] 復(fù)變函數(shù)與積分變換編寫組.復(fù)變函數(shù)與積分變換[M].北京：北京郵電大學(xué)出版社，2011.