簡析導(dǎo)數(shù)問題中構(gòu)造輔助函數(shù)的常用方法

楊光 關(guān)鍵

導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用是現(xiàn)今高考的一大熱點(diǎn)問題，年年必考，在這道壓軸的大題中，解答時常涉及構(gòu)造函數(shù)，我簡單談一下常用的構(gòu)造方法.

一、作差法（直接構(gòu)造法）

這是最常用的一種方法，通常題目中以不等式形式給出，我們可以作差構(gòu)造新的函數(shù)，通過研究新函數(shù)的性質(zhì)從而得出結(jié)論.當(dāng)然，適合用這個方法解的題目中，構(gòu)造的函數(shù)要易于求導(dǎo)，易于判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù).

例1.設(shè)x∈R，求證ex≥1+x

構(gòu)造函數(shù)f （x）=ex-1-x，對函數(shù)求導(dǎo)可得f ′ （x）≥ex-1，當(dāng)x≥0時，f ′ （x）≥0，f （x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，f （x）≥f （0）=0，當(dāng)x<0時，f ′ （x）<0，f （x）在（-∞，0）上為減函數(shù)，f （x）>f （0）=0，因此，當(dāng)x∈R，f （x）≥f （0）=0，即ex≥1+x

例2.x>-1，求證1-■≤ln（x+1）≤x

以證明右側(cè)為例，設(shè)f （x）=x-ln（x+1），f ′ （x）=1-■（x>-1）

令f ′ （x）=0，x=0，當(dāng)x∈（-1，0）時，f ′ （x）<0，函數(shù)遞減，當(dāng)x∈（0，+∞）時，f ′ （x）>0，函數(shù)遞增，所以x=0時，函數(shù)取最小值f （0）=0，∴f （x）≥0.

二、先去分母再作差

有的問題直接作差構(gòu)造函數(shù)后，求導(dǎo)非常麻煩，不具有可操作性，可先去分母再作差.

例3.x>1，求證■<■

分析：設(shè)f （x）=■-lnx，f （x）=■-■-lnx，f ′ （x）=■x-■+■x-■-■，f ′ （x）=■≥0，f （x）≥f （1），f （1）=0，∴f （x）>0

三、先分離參數(shù)再構(gòu)造

例4.（哈三中2012期末試題21）已知函數(shù)f （x）=xlnx，g （x）=

-x2+ax-3

（1）求f （x）在[t，t+2]（t>0）上的最小值；

（2）對一切x∈（0，+∞），2f （x）≥g （x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）證明對一切x∈（0，+∞），都有l(wèi)nx>■-■成立.

分析：（1）略 （2）2xlnx≥-x2+ax-3恒成立，

∵x>0，原不等式等價于a≤2lnx+x+■.

令g （x）=2lnx+x+■，則g′ （x）=■，

所以g （x）的最小值為g （1）=4，即a≤4

（3）利用前面提到的第二種方法，先去分母再構(gòu)造，目的就是使得構(gòu)造的函數(shù)易于求導(dǎo)，易于分析.

原不等式等價于xlnx>■-■，令F （x）=xlnx，G （x）=■-■

則可求F （x）的最小值為F （■）=-■；G （x）的最大值為G （1）=-■，所以原不等式成立.

四、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明

例5.若函數(shù)y=f （x）在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf ′ （x）>-f （x）恒成立，且常數(shù)a，b滿足a>b，求證：af （a）>bf （b）

分析：由條件移項(xiàng)后xf ′ （x）+f （x），可以構(gòu)造函數(shù)F （x）=xf （x），求導(dǎo)即可完成證明.若題目中的條件改為xf ′ （x）>f （x），則移項(xiàng)后xf ′ （x）-f （x），要想到是一個商的導(dǎo)數(shù)的分子，構(gòu)造函數(shù)F （x）=■，求導(dǎo)去完成證明.

五、由高等數(shù)學(xué)中的結(jié)論構(gòu)造

利用泰勒公式，可以把任意一個函數(shù)用冪函數(shù)近似表示.

f （x）=f （x0）+f ′ （x0）（x-x0）+■（x-x0）2+…+■（x-x0）n+…

當(dāng)f （x）=lnx，取x=1，則lnx=x-1-■+…lnx≈x-1

例6.數(shù)列{an}，a1=1，an+1=lnan+an+2，求證an≤2n-1

分析：設(shè)f （x）=lnx-（x-1），f ′ （x）=■-1=■，當(dāng)x∈（0，1），

f ′ （x）>0

當(dāng)x∈（1，+∞），f ′ （x）<0，f （x）≤f （1）=0 ∴l(xiāng)nx≤x-1

lnan≤an-1，an+1=lnan+an+2≤2an+1，∴an+1+1≤2（an+1）

迭代，1+an≤2（1+an-1）≤…≤2n-1（1+a1）=2n

∴an≤2n-1

例7.（2008年山東理21）已知函數(shù)f （x）=■+aln（x-1）其中n∈N*，a為常數(shù).

（1）當(dāng)n=2時，求函數(shù)f （x）的極值；

（2）當(dāng)a=1時，證明：對任意的正整數(shù)n，當(dāng)x≥2時，有f （x）≤x-1

分析（2）：當(dāng)a=1時，f （x）=■+ln（x-1）.

當(dāng)x≥2時，對任意的正整數(shù)n，恒有■≤1，

故只需證明1+ln（x-1）≤x-1.

令h （x）=x-1-[1+ln（x-1）]=x-2-ln（x-1），x∈[2，+∞），

則h ′ （x）=1-■=■，

當(dāng)x≥2時，h ′ （x）≥0，故，h （x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，

因此x≥2時，當(dāng)h （x）≥h （2）=0，即1+ln（x-1）≤x-1成立.

故當(dāng)x≥2時，有■+ln（x-1）≤x-1.即f （x）≤x-1.

另外，高等數(shù)學(xué)中有一個極限結(jié)論：■■=1

由以上極限不難得出，當(dāng)x>0時，

sinx

所以函數(shù) f （x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，f （x）>f （0）=0.所以x-sinx>0，即sinx

導(dǎo)數(shù)問題中構(gòu)造輔助函數(shù)還有其他的方法，例如變更主元法，二次求導(dǎo)再構(gòu)造，難度偏大，這里先不做詳解.

（作者單位 楊光：黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 關(guān)鍵：黑龍江省大慶市第四中學(xué)）

？誗編輯 謝尾合