一類非線性偏微分方程弱解的存在性

袁桓

摘 要：解的存在性和正則性是偏微分方程研究的重要課題.古典解往往難以直接到達，數學上定義了可微性弱一點的強解和弱解，并發展了先求證強解或弱解的存在性，在利用先驗估計提升正則性的方法.該文將證明一類非線性偏微分方程弱解的存在性.

關鍵詞：Banach不動點定理 弱解存在性 非線性偏微分方程

中圖分類號：O13 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2013）03（c）-0-01

取足夠小，則有，故是壓縮映射。由Banach不動點定理，知存在唯一不動點。定理得證。

3 結語

由此，我們看到，形如（1）的二階非線性偏微分方程在一定條件限制下存在唯一的弱解。事實上，對于各種具體的情況，我們還可以利用各種正則性估計理論將這個弱解的正則性提高，從而使得這個解滿足二次可微的性質。這樣的話，就得到物理和實際上需要的強解。滿足了強解的存在性的話，上述證明事實上也給出了利用迭代構造一個可以逼近這個強解的收斂函數列的方法。在現實情況中，我們只需要取這個函數列的前面幾項，就可以得到合乎足夠精度要求的數字解。這也是計算數學中常用的方法。但是，這樣一個解釋存在的是可以做數值逼近的前提條件。這就是理論數學研究的范疇。

參考文獻

[1] Lawrence C.Evans.Partial Differential Equations.American Mathematicat society.2010.

[2] 馬天.偏微分方程理論與方法[M].北京：科學出版社，2011.

[3] Nakhlé H.Asmar.Partial Differential Equations with Fourior Series and Boundary Value Problems（Second Edition）.