理論力學(xué)教學(xué)中斜坡滑動(dòng)摩擦偏向力偶探討

鄭拯宇

摘 要：對(duì)于斜面支承的物體，其底面支承約束反力并不是呈現(xiàn)均勻分布狀態(tài)，其等效集中荷載存在一定的偏心距。對(duì)其進(jìn)行較為詳細(xì)的受力分析有宜于學(xué)生對(duì)平衡狀態(tài)條件的理解，并且利用這種斜面對(duì)物體支承約束反力分布的不均勻特性，研究斜面物體滑動(dòng)過(guò)程中所產(chǎn)生的偏轉(zhuǎn)力偶，較好地詮釋了斜坡運(yùn)動(dòng)物體的曲線軌跡產(chǎn)生的原因。

關(guān)鍵詞：理論力學(xué) 受力分析 斜坡支承反力 偏向力偶 運(yùn)動(dòng)軌跡

中圖分類號(hào)：O3 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2013）03（c）-0-02

在理論力學(xué)教學(xué)中，關(guān)于斜坡物體支承約束反力的分布情況，一部分教材和參輔資料存在這樣一個(gè)值得商榷的觀點(diǎn)：認(rèn)為斜面對(duì)物體的支承約束反力分布是呈均勻分布的，故可用一個(gè)作用點(diǎn)位于接觸面中心的集中荷載來(lái)進(jìn)行等效。事實(shí)上，斜面上物體底面支承約束反力并不是均勻分布的，其分布狀況是由斜坡坡度所確定的，其等效集中反力作用點(diǎn)位置將隨坡度的改變而變化，使得相關(guān)的等效摩擦阻力作用位置的改變，從而導(dǎo)致斜坡物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中偏向力偶的產(chǎn)生。該文首先從靜力平衡條件出發(fā)，論證了斜坡物體支承約束反力分布的不均勻性，并分析了支承約束反力分布情況與坡度之間的關(guān)系。然后利用這種斜面對(duì)物體支承約束反力分布的不均勻特性，研究斜面物體滑動(dòng)過(guò)程中所產(chǎn)生的偏向力偶，解釋了斜坡運(yùn)動(dòng)物體的曲線運(yùn)動(dòng)軌跡產(chǎn)生的原因。

1 斜坡物體的靜力平衡條件

放置在斜坡上靜止的物體，除重力荷載作用外，還承受斜面對(duì)物體的支承約束反力和接觸面上的靜摩擦阻力作用，若認(rèn)為斜面對(duì)物體的支承約束反力是呈均勻分布的，則可用一個(gè)作用點(diǎn)位于接觸面中心的等效集中荷載N來(lái)替代，如圖1所示。

根據(jù)平面任意力系的靜力平衡條件[1-3]：

可見(jiàn)，若認(rèn)為斜面對(duì)物體的支承約束反力是呈均勻分布的，則，不滿足靜力平衡條件，物體將發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，這與已知物體的靜止?fàn)顟B(tài)矛盾。因此，由靜力平衡條件可以得出這樣結(jié)論：斜坡上物體底面支承約束反力的等效集中荷載作用點(diǎn)并不位于物體底面中心，故其底面支承約束反力是呈不均勻分布狀態(tài)。

2 不同坡度條件下其支承約束反力分布情況分析

事實(shí)上，不同坡度條件下，放置在斜坡上靜止的物體，其底面支承約束反力分布情況較為復(fù)雜，如圖二所示，但可以仍可以近似地用三角形、梯形等分布荷載予以簡(jiǎn)化，并進(jìn)一步可用一集中荷載進(jìn)行等效替換。

令物體底面所受支承約束反力的等效集中荷載N作用點(diǎn)位置沿坡斜面距物體B中心距離為d（等效集中支承約束反力N的偏心距），如圖二所示。當(dāng)斜面上物體B靜止時(shí)，即（fmax為接觸面最大靜摩擦系數(shù)），根據(jù)靜力平衡條件，可知：

可見(jiàn)：支承約束反力的等效集中荷載偏心距d僅與物體高度h以及坡度θ有關(guān)。下面分析不同坡度條件下斜面上物體B底面的支承約束反力分布情況：

①當(dāng)θ=00（物體水平放置）時(shí)，偏心距，表明支承約束反力的等效集中荷載作用于底面中心處。此時(shí)，可以認(rèn)為其底面支承約束反力是呈均勻分布的，其中，如圖2（a）所示。

②當(dāng)）時(shí)，偏心距。表明物體底面的支承約束反力是呈梯形分布的，其中：q1、q2是由物體幾何參數(shù)a和h以及坡度角θ所決定的，如圖2（b）

所示。

③當(dāng)時(shí)，偏心距。此時(shí)，斜坡對(duì)物體支承約束反力是沿整個(gè)底面呈三角形分布狀態(tài)，其中：q是由a以及坡度角θ所決定的，，，如圖2（c）所示。

④當(dāng)時(shí)，偏心距。可以認(rèn)為斜坡對(duì)物體的支承約束反力僅作用于物體底面的部分區(qū)域，并呈三角形分布狀態(tài)，其中：q決定于物體幾何參數(shù)a以及坡度角θ的大小，，如圖2（d）所示。

3 斜坡物體滑動(dòng)過(guò)程中的偏向力偶及其軌跡分析

放置在水平地面上靜止的物體，若在水平方向施加一恒定荷載使其發(fā)生滑動(dòng)，物體將沿一直線軌跡運(yùn)動(dòng)。但當(dāng)存在一定角度的斜坡條件下，即使這個(gè)坡度θ角很小（靜摩擦阻力遠(yuǎn)小于最大靜摩擦阻力），在水平恒定荷載作用下，將觀察到斜面上物體的運(yùn)動(dòng)軌跡并不是一條水平直線，而是如圖四所示一段沿支承斜面向下發(fā)展的曲線軌跡EF。顯然，斜坡上的物體在運(yùn)動(dòng)初始即發(fā)生了偏轉(zhuǎn)。

現(xiàn)在分析坡度為θ角斜坡上物體在運(yùn)動(dòng)初始時(shí)刻的受力情況：作用在物體上的主動(dòng)力有兩個(gè)，一是作用在物體重心處的自重，二是沿水平方向（y軸向）的荷載T；而物體上的約束反力為呈不均勻分布的斜面支承約束反力，其等效集中荷載Neq在x方向上存在偏心距d；另外，物體在x軸向存在滑動(dòng)趨勢(shì)，故在物體接觸面上存在沿x負(fù)向的靜摩擦阻力Ff1，而在y軸負(fù)向存在一滑動(dòng)摩擦阻力Ff2。無(wú)論等效摩擦力Ff1或Ff2，其作用點(diǎn)位置均由支承約束反力分布情況和運(yùn)動(dòng)方向（或趨勢(shì)）所決定，在其等效集中力Neq的作用點(diǎn)H附近。物體的受力分析如圖五所示。

假設(shè)物體初始滑動(dòng)時(shí)其水平主動(dòng)力T與水平方向的滑動(dòng)摩擦阻力Ff2在數(shù)值上相等，根據(jù)空間任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化原則[4]，將作用在物體上的所有荷載向重心O簡(jiǎn)化，得到一主矢和主矩，再將其分別向x軸、y軸、z軸投影，可得：

可見(jiàn)，作用于物體上的力系向重心O點(diǎn)簡(jiǎn)化后的主矢為0，主矩，為斜面上繞z軸負(fù)向轉(zhuǎn)動(dòng)的力偶矩，即為斜面支承物體的運(yùn)動(dòng)偏向力偶。在運(yùn)動(dòng)初始時(shí)刻，根據(jù)動(dòng)力學(xué)理論，斜面支承的物體由于存在偏向力偶Mz=-Td的作用，將發(fā)生偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)產(chǎn)生偏轉(zhuǎn)。

在隨后的t=0+Δt時(shí)刻，由于物體開(kāi)始偏轉(zhuǎn)，其接觸底面支承約束反力分布將隨之變化，相應(yīng)的等效集中反力作用位置也發(fā)生改變，使得等效摩擦阻力的大小和位置發(fā)生變化；同時(shí)，隨著運(yùn)動(dòng)軌跡的改變，物體運(yùn)動(dòng)方向變發(fā)生變化，導(dǎo)致摩擦阻力方向的改變，從而加速了偏轉(zhuǎn)過(guò)程。隨著時(shí)間的推移，可以觀察到，斜面上物體的運(yùn)動(dòng)軌跡將呈現(xiàn)一條曲率逐漸增大的曲線狀態(tài)。

4 結(jié)語(yǔ)

（1）具有一定坡度角θ的斜坡上物體底面支承約束反力的分布是不均勻的，故其等效集中荷載作用點(diǎn)并不位于物體底面的中心處。

（2）盡管放置在斜坡上靜止的物體其底面支承約束反力分布情況較為復(fù)雜，但仍可以近似地用三角形、梯形等分布荷載予以簡(jiǎn)化，并可以用物體的幾何參數(shù)和坡度角的大小進(jìn)行量化；其等效集中荷載存在一定的偏心距，并且偏心距d僅與物體高度h以及坡度θ有關(guān)。

（3）斜面支承物體底面支承約束反力的不均勻分布特性，導(dǎo)致其等效摩擦阻力并不通過(guò)底面形心，存在一定的偏心距，從而在物體滑動(dòng)初始階段即在斜面上產(chǎn)生繞Z軸負(fù)向旋轉(zhuǎn)的力偶矩（偏向力偶）。這種偏向力偶是使斜面上滑動(dòng)物體產(chǎn)生一條曲率逐漸增大并向下發(fā)展的曲線軌跡的主要原因。

參考文獻(xiàn)

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