函數圖像中體現的辯證觀點

練小青

在初中代數的函數及其圖像中，蘊含的辯證觀點極為豐富。這一教學內容的最大特點是“變”，即變化、變量、運動，正如恩格斯所說的“數學中的轉折點是笛卡兒的變數。有了變數，運動進入了數學；有了變數，辯證法進入了數學；有了變數，微分和積分也就立刻成為必要的了。”

現代課程理論及教學實踐證明，搞好這一內容的教學，不僅可以幫助學生深化對以前所學過的基礎知識的理解，提高數學能力，形成運動、變化、聯系的意識，而且能較自然地培養學生辯證唯物主義的世界觀。

一、常量與變量

辯證法認為，世界上的萬事萬物，都是相互聯系、運動、變化和發展的。而常量，是相對于某一過程或另一個變量而言的。絕對的常量是沒有的，因為物質的運動是絕對的，靜止是相對的，故物動則變。既然如此，相對的常量是有的，絕對的常量是不存在的。因此，在教學過程中，為幫助學生認識常量與變量這一辯證關系，不妨取如下實例：1.勻速直線運動中，速度是常量，時間與路程均為變量；但人在實際運動的過程中。絕對的勻速運動是沒有的。如電影院里統計票房收入，對某一個場次和座位類別而言，票價是常量，而售票張數和收入均為變量；但相對于某個較長時間間隔而言，由于演出的內容、種類、檔次的不同，其票價仍是一個變量。2.某日或連續幾日測量某同學的身高，可以近似地看做常量；但此同學的身高，如果從一個較長時間去看，則又是變量了。

二、運動與靜止

根據人類認識事物的客觀規律及初中學生的實踐和知識的發展水平，我們可結合教材中的具體教學內容，引導學生逐步認識事物的絕對運動與相對靜止這一辯證關系。例如，我們可以引導學生從教科書上看到的，在練習本或黑板上畫出的y=x的圖像去思考：這個圖像表面上是靜止的，但從列表、描點到連線的過程去看卻是運動的、變化的。再進一步挖掘，可以發現：畫成的圖像表面上是完整的，其實是不完整的，因為它還可以向兩方無限延伸，即不斷運動、發展和變化，畫出的函數圖像永遠只能是局部的，它只能是這個函數圖像的一個象征物；同時這一例舉也體現了部分與整體的辯證統一。

三、內容與形式

根據現行教材體系，七年級上學期，學生學習了方程的有關概念后會認為，形如y=2x+1的式子表示一個二元一次方程；九年級學生接觸了一次函數概念時，會認為y=2x+1表示一個一次函數：當學生用描繪函數圖像的一般方法描出y=2x+1的圖像后，又認識到y=2x+1還可以表示一條直線。從哲學的角度去看，y=2x+1表示一類事物的本質聯系，其內容是極其豐富的，而表達這豐富內容的形式卻是相同的。這正表明，同一事物在不同的外部條件下可有多種不同的外部表現形式，相同的外部形式可以表示不同的本質內容。隨著學生知識的增多和認識能力的提高，他們對事物本質的認識也將逐步地從感性上升為理性。

四、特殊與一般

辯證法認為，一般性寓于特殊性之中。教材中涉及特殊與一般這一內容至少有以下幾個方面：1.y=kx與y=kx+b；2.y=ax2與y=ax2+k；3.y=ax2與y=a（x-h）2；4.y=ax2與y=ax2+bx+c。它們之間的關系，均是典型的特殊與一般之間的辯證統一關系。

五、具體與抽象

現代認知科學理論告訴我們，人類對事物本質屬性的認識，是由現象到本質、由具體到抽象、由淺入深的漸進過程。感性認識常來之于對某些具體實踐的思考；而理性認識則來之于對這些初步認識概括和抽象的過程，從而達到對事物本質屬性的認識。因此只有從具體的感性認識上升發展為抽象的理性認識以后，才容易納入原有的認知結構，才可以轉化為運用的能力，才能為更高級的抽象提供基礎和保證。我們可從細讀教材中發現，無論是對正比例函數、一次函數、二次函數的研究，還是對反比例函數的圖像及性質的討論，都是從具體到抽象逐步展開論述和論證，從而加深對這些知識的理解。

六、量變與質變

函數及其圖像中體現量變與質變觀點的內容，例子很多，要使學生深刻認識這些內容卻是很困難的，因而我們在教學時宜逐步引導，點滴滲透，而后去系統推進對這些內容的理解。

七、離散與連續

離散與連續是一個矛盾的兩個方面，但在列表一描點一連線的過程中，連線使離散與連續得到了統一。如教科書上畫y=x及y=x2的圖像，均采用了由簡單到復雜、從特殊到一般、由離散到連續的手法，體現了這種對立統一的關系。

總之，仔細分析教材，不難發現《函數及其圖像》這一板塊中，滲透和體現的上述辯證觀點的內容是十分豐富的。主要觀點除上面已敘述的內容之外，至少還有現象與本質、有限與無限、微觀與宏觀、直與曲、精確與近似、絕對與相對等內容。限于篇幅，不再一一贅述。

（責任編校：白水）