導數的應用

馮濤

重點：導數的概念、導數運算法則、幾何意義，用導數研究函數的單調性、極值、最值以及它與其他知識點交匯處的綜合應用.

難點：導數的有關難點主要集中在兩個層面：①概念理解層面，比如導數的極限定義，曲線“過一點”和“在一點”處的切線的區別，導數與函數單調性之間是充分不必要關系，可導函數極值點與導數之間是充分不必要關系，以及極值與最值的聯系與區別，等等；②能力發展層面，在高考中導數對考生能力的考查是全方位的，它不僅要求考生熟練應用高中常見的數學思想方法，例如化歸與轉化、分類討論、數形結合、函數與方程等思想，而且還要掌握一些重要的解題策略，例如分離變量、構造函數、換元法、變更主元、多重求導等解題技巧.

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1. 曲線的切線方程

函數y=f（x）在點x0處的導數f ′（x0），就是曲線y=f（x）在點P（x0，f（x0））處的切線的斜率k，即k=tanα=f ′（x0）.

求過點P（x0，y0）的曲線y=f（x）的切線方程時，應先判斷P（x0，y0）是否為切點，即點P是否在曲線y=f（x）上.

若P（x0，y0）是曲線y=f（x）上的點，則切線斜率即為f ′（x0），代入點斜式方程y-y0=f ′（x0）（x-x0），即可求得過點P（x0，y0）的曲線y=f（x）的切線方程；若P（x0，y0）不是切點，即不是曲線y=f（x）上的點，則應設切點為（x1，y1），求出（x1，y1），再求切線方程.

2. 利用導數研究函數的性質

（1）利用導數研究函數單調性的步驟：①求導數f ′（x）；②在函數f（x）的定義域內解不等式f ′（x）>0或f ′（x）<0；③根據②的結果確定函數f（x）的單調區間.

（2）求可導函數極值的步驟：①確定函數的定義域；②求導數f ′（x）；③解方程f ′（x）=0，求出函數定義域內的所有根；④列表檢驗f ′（x）在f ′（x）=0的根x0左右兩側值的符號，如果左正右負，那么f（x）在x0處取極大值；如果左負右正，那么f（x）在x0處取極小值.

（3）求函數f（x）在閉區間[a，b]內的最大值與最小值：①確定函數f（x）在閉區間[a，b]內連續、可導；②求函數f（x）在開區間（a，b）內的極值；③求函數f（x）在[a，b]端點處的函數值f（a）， f（b）；④比較函數f（x）的各極值與f（a）， f（b）的大小，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值；⑤如果涉及實際應用問題還要將解答結果代入實際意義中進行檢驗.

特別值得注意的是，掌握以上幾種典型類型問題的解法步驟只是解決好導數問題的基本能力，切不可生搬硬套，一定要結合試題具體問題具體分析，以下結合典型例題加以說明.

（3）設g（x）=（x2+x）f ′（x），其中f ′（x）為f（x）的導函數.證明：對任意x>0，g（x）<1+e-2.

思索 利用導數的幾何性質求出函數的解析式及單調區間，將不等式的恒成立問題轉化為函數的最值問題.