二次函數(shù)

何曉勤

重點(diǎn)：①二次函數(shù)的解析式（一般式、頂點(diǎn)式、零點(diǎn)式）的靈活應(yīng)用；②二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用，如求最值和研究單調(diào)性等；③二次函數(shù)與一元二次方程及一元二次不等式之間的關(guān)系.

難點(diǎn)：①含參數(shù)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題；②含參數(shù)二次函數(shù)的零點(diǎn)分布（即含參數(shù)一元二次方程根的分布）問(wèn)題；③三個(gè)“二次”的綜合問(wèn)題.

1. 二次函數(shù)解題的基本方法

（1）認(rèn)真審題，明確題目考查的方向；利用題目條件，合理選用二次函數(shù)的解析式（一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；頂點(diǎn)式：y=a（x+k）2+h（a≠0），其中（-k，h）為頂點(diǎn)；零點(diǎn)（3）二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值問(wèn)題常考三種類型：軸定區(qū)間定、軸變區(qū)間定、軸定區(qū)間變. 無(wú)論是哪種類型，解決的關(guān)鍵是確定對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系. 當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，要依據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，進(jìn)行分類討論. 二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值只可能在區(qū)間的端點(diǎn)或頂點(diǎn)取得. 若二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)a，則必須分a>0，a=0，a<0進(jìn)行第一層的討論，以對(duì)稱軸的不同位置進(jìn)行第二層次的分類討論.

（4）一元二次方程區(qū)間根的分布問(wèn)題通常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的零點(diǎn)分布問(wèn)題去處理. 解決此類問(wèn)題需要考慮四個(gè)要素：開(kāi)口方向、判別式、對(duì)稱軸的位置以及端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào).

（5）三個(gè)“二次”問(wèn)題以二次函數(shù)為中心，運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)把一元二次方程、一元二次不等式聯(lián)系起來(lái)，要重視代數(shù)推理；三個(gè)“二次”問(wèn)題也是研究包含二次曲線等內(nèi)容的基礎(chǔ)工具.

D. （-∞，a）和（c，+∞）內(nèi)

思索 由函數(shù)f（x）的解析式具有對(duì)稱性的特征，并結(jié)合選項(xiàng)可知，求解的關(guān)鍵是判斷函數(shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)與a，b，c之間的大小關(guān)系，于是可求出f（a）， f（b）， f（c）的值，并比較它們與0的大小關(guān)系，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可得到答案.

破解 由于a0， f（b）=（b-c）（b-a）<0， f（c）=（c-a）（c-b）>0.

因此f（a）·f（b）<0， f（b）·f（c）<0. 又f（x）是關(guān)于x的二次函數(shù)，數(shù)形結(jié)合（圖略）可知，函數(shù)f（x）的圖象是連續(xù)不斷的曲線，因此函數(shù)f（x）的兩零點(diǎn)分別位于區(qū)間（a，b）和（b，c）內(nèi)，故選A.

（1）求證：函數(shù)y=f（x）必有零點(diǎn)；

（2）設(shè)函數(shù)g（x）=-f（x）-1.

①若g（x）在[-1，0]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

②是否存在整數(shù)m，n，使得關(guān)于x的不等式m≤g（x）≤n的解集恰好是[m，n]，若存在，求出m，n的值；若不存在，說(shuō)明理由.

思索 （1）欲證函數(shù)y=f（x）存在零點(diǎn)，只需比較判別式與0的關(guān)系；當(dāng)然，亦可考慮含參數(shù)二次函數(shù)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題；（2）①研究函數(shù)g（x）=-f（x）-1=f（x）+1在[-1，0]上的單調(diào)性，需要考慮函數(shù)f（x）+1的圖象特征，即先研究判別式與0的關(guān)系，再研究函數(shù)f（x）+1的對(duì)稱軸與區(qū)間[-1，0]關(guān)系，綜合起來(lái)列出關(guān)于a的不等式組進(jìn)行求解；②結(jié)合函數(shù)g（x）的圖象特征，找出“關(guān)于x的不等式m≤g（x）≤n的解集恰好是[m，n]”的條件，列出方程組并結(jié)合m，n的取值范圍進(jìn)行求解.

參考答案

1. B 畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)f（x），g（x）的圖象，由圖知f（x），g（x）的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2. 故選B.