函數的概念及其表示

唐艷玲

本部分內容由映射及函數的概念、函數的表示組成，函數的定義域、值域、解析式是構成函數的三大要素. 縱觀近幾年的高考試題，本節內容以客觀題為主，主要考查對概念的理解能力、邏輯思維能力，突出考查函數的三要素、函數的定義域與函數的表示方法、分段函數概念的理解與應用、抽象函數的性質討論.

重點：掌握映射的概念、函數的概念，掌握分段函數的概念，會求函數的定義域，掌握函數的三種表示法——圖象法、列表法、解析法，會求函數的解析式.

難點：函數的概念，求函數的解析式.

1. 理解映射的概念，應注意以下幾點

（1）集合A，B及對應法則“f ”是確定的，是一個整體系統.

（2）對應法則有“方向性”，即強調從集合A到集合B的對應，這與從集合B到集合A的對應關系一般是不同的.

（3）集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，這是映射區別于一般對應關系的本質特征.

（4）集合A中的不同元素，在集合B中對應的象可以是同一個.

（5）不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象.

2. 理解函數的概念，應注意以下幾點

（1）函數是從非空數集A到非空數集B的映射關系.

（2）數集A是函數的定義域，函數的值域是數集B的子集.

3. 求函數定義域的基本思路

如果沒有標明定義域，則認為定義域為使得函數解析式有意義的x的取值范圍，實際操作時要注意以下幾點：

（1）分母不能為0.

（2）對數的真數必須為正.

（3）偶次根式中被開方數應為非負數.

（4）零指數冪中，底數不等于0.

（5）負分數指數冪中，底數應大于0.

（6）若解析式由幾個部分組成，則定義域為各個部分相應集合的交集.

（7）如果涉及實際問題，還應使得實際問題有意義.

如求復合函數的定義域，已知函數f（x）的定義域為[a，b]，則函數f[g（x）]的定義域是滿足不等式a≤g（x）≤b的x的取值范圍；一般地，若函數f[g（x）]的定義域是[a，b]，指的是x∈[a，b]，要求f（x）的定義域就是求x∈[a，b]時g（x）的值域.

注意：研究函數的有關問題時一定要注意定義域優先原則，實際問題的定義域不要漏寫.

4. 求函數解析式的基本策略

函數的解析式是函數與自變量之間建立聯系的橋梁，許多和函數有關的問題的解決都離不開解析式，因而求解函數解析式是高考中的熱點. 解決這類問題的關鍵在于抓住函數對應法則“f ”的本質. 下面介紹幾種求函數解析式的主要方法.

（1）湊配法：把形如f（g（x））內的g（x）當做整體，在解析式的右端整理成只含有g（x）的形式，再把g（x）用x代替，可得f（x）的解析式.

（2）換元法：已知f（g（x）），求f（x）的解析式，一般可用換元法. 具體為：令t=g（x），再求出f（t），可得f（x）的解析式，換元后要確定新元t的取值范圍.

（3）解方程組法：若已知抽象函數的表達式，往往通過變換變量構造一個方程，組成方程組，然后利用消元法求出f（x）的表達式.

（4）待定系數法：若已知函數的類型（如一次函數、二次函數）求解析式，首先設出函數解析式，根據已知條件代入相關值求出系數.

（5）賦值法：已知一個關于x，y的抽象函數，利用特殊值去掉一個未知數y，得出關于x的函數解析式.

思索 函數的定義域應是使得函數表達式的各個部分都有意義的自變量的取值范圍.

破解 根據對數函數真數大于0及二次根號下數大于或等于0得1-x>0，x≥0？圯0≤x<1，即所求函數的定義域為[0，1）. 選B.