查漏補缺之函數與導數

廖軍

（2）分段函數是指自變量在不同的范圍內，其對應法則也不同的函數. 常常考查求函數值、求函數解析式、求反函數、求函數最值.

2. 函數的圖象和性質

（1）理解函數單調性的定義，掌握判斷函數單調性的方法.

（2）了解函數的奇偶性，掌握奇、偶函數的性質.

（3）了解函數的周期性.

（4）掌握常見函數圖象的基本作法，掌握函數圖象的平移、對稱、翻折和伸縮變換.

注意：（1）判斷函數的單調性，常常有圖象法、定義法、復合函數法、導數法，但如果是在解答題中證明或判斷函數單調性時，則只能用定義法和導數法.

（2）判斷函數的奇偶性，首先要看定義域關于原點是否對稱.

（3）若函數f（x）是奇函數并且在x=0處有定義，則f（0）=0，這條性質切記.

（4）識記以下重要結論：①奇函數在關于原點對稱的區間上單調性相同，偶函數在關于原點對稱的區間上單調性相反；②若函數在其定義域上存在反函數，則原函數和反函數在

3. 幾種常見的函數

（1）掌握二次函數、三次函數的圖象和性質.

（2）掌握冪的運算，理解指數函數的概念，理解指數函數的單調性，掌握指數函數圖象通過的特殊點.

（3）掌握對數的概念及其運算性質， 理解對數函數的概念，理解對數函數的單調性，掌握函數圖象通過的特殊點.

（4）結合二次函數的圖象，了解函數的零點與方程的根的聯系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數. 能夠用二分法求相應方程的近似解（僅限新課程地區）.？搖

（5）能夠熟練處理常見抽象函數的定義域、解析式、函數值和單調性等.

注意：（1）處理函數的有關問題，一定要形成“定義域優先”的原則.

（2）指數函數和對數函數是典型的超越函數，且互為反函數. 在實際試題中，往往是與指數函數或對數函數有關的復合函數，要注意復合函數的單調性判斷規律，即“同增異減”.

（3）一元二次方程的根的分布是考查的重點，要能利用二次函數圖象來尋求充要條件，常常是抓端點值、對稱軸和判別式.

（4）抽象函數的常見處理方法有特殊模型法、函數性質法、特殊化方法、聯想類比轉化法等. 記住以下常見抽象函數模型所對應的具體函數，這對我們解題有幫助.

4. 導數的運算

（1）理解導數的幾何意義.

（2）能利用基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數，能求簡單的復合函數（僅限于形如y=f（ax+b）的復合函數）的導數.

注意：（1）利用導數的幾何意義求切線斜率是高考的熱點，那么如何求呢？先求出曲線y=f（x）在點P（x0， f（x0））處的切線斜率k=f ′（x0），再由點斜式得到切線方程y-f（x0）=f ′（x0）（x-x0），請注意在某點處的切線與過某點處的切線的求法有區別.

（2）求復合函數的導數請注意：要能正確拆分復合函數，即要明確該復合函數由哪些基本函數復合而成，適當選取中間變量；分步計算中的每一步都要明確是對哪個變量求導；求導時，應由外及里，逐層求導.

（3）導數的運算、函數與導數的應用交匯，以考查導數的應用（單調性、極值、最值、方程根的情況）為主，同時考查導數的計算.

5. 導數的應用

（1）了解函數單調性與導數的關系；能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區間（其中多項式函數一般不超過三次）.

（2）了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數求函數的極大值、極小值；會求閉區間上函數的最大值、最小值（其中多項式函數一般不超過三次）.