王寬明

一、 問題的提出

1.研究的背景

幾何課程改革歷來是人們關注的焦點。2005年第四期《數學通報》刊登了一些數學家的觀點：初中是青少年智力發展最為迅猛的階段，此階段如果推理論證能力訓練不足，那么學生后續的理性概括能力、抽象能力、科學精神都會不足。同年，《光明日報》教育周刊上報道了姜伯駒院士的類似觀點。數學家們基本上都對平面幾何部分的改革提出質疑，反對刪掉過多的內容。一線教師也特別青睞平面幾何在解決問題時所表現出的優越性：難度的層次性、結果的可預見性，特別是其對于學生的推理能力培養具有良好的價值。而課標修訂組的專家認為，所有的數學內容都具有培養學生的推理能力的價值。2011年頒布的《初中數學課程標準（修訂）》進一步削弱了對平面幾何的要求，如刪除了梯形、等腰梯形的相關內容，視點、視角、盲區，計算圓錐的側面積和全面積等。這更加引發了許多一線教師和從事教育的專家學者對平面幾何改革的討論。

本研究通過調查學生的幾何推理能力與學生的幾何思維水平之間的關系以及不同思維水平的學生在幾何推理能力方面的差異，試圖診斷八年級學生幾何推理能力屬于哪個幾何思維水平，以及不同推理能力的思維水平特點，進而為中學數學教育提供一些建設性的建議，讓中學數學教師更好地了解學生，從而促使其在實踐中更加科學、有效地運用現代教育理念組織課堂教學。

2.概念界定

（1）幾何推理

幾何推理是課程改革中的關鍵概念，它是課程改革中為取代幾何證明提出的一個概念。一般認為，幾何推理就是幾何證明，其實幾何推理并不等價于幾何證明，幾何證明就是嚴密的邏輯演繹推理，需要有充足的已知條件和理論依據，才能對問題進行求解。而幾何推理在解決問題時對條件的要求相對較低，它可以是在少量已知條件的情況下對問題的結果進行大膽猜想，然后小心求證。因為現實問題通常都是欠缺條件的，所以課程改革提倡幾何推理更具有一般性，有利于提高學生的思維品質，掌握思維方法，特別是分析問題和解決問題的能力。

目前，中外學者關于幾何推理的方式研究，比較一致的看法有：圖形推理、類比推理、自然推理、歸納推理、形式邏輯推理等[1]。圖形推理也稱直觀推理，就是由一個或若干個已知圖形而推出另外一些圖形或信息的思維過程。一個圖形推理由三要素構成：前提、推理要求和結論。類比推理簡稱類推、類比，是根據兩個或兩類對象有部分屬性相同，從而推出它們的其他屬性也相同的推理。自然推理，也可稱為描述性推理，是運用日常語言，對事物進行描述論證、說理。歸納推理是人根據已掌握的圖形知識及觀察到的圖形變化規律，推導出未觀察到的圖形知識。關于形式邏輯推理，中小學教材中的幾何證明通常都屬于形式邏輯推理，需要嚴謹的邏輯思維推理能力。

（2）幾何推理的層次劃分

上世紀50年代，荷蘭的范希爾夫婦劃分的幾何思維理論對幾何課程具有重要的指導意義，范希爾幾何分類理論把幾何思維分成以下幾個水平[2]。

水平0，視覺。這個階段兒童能通過整體輪廓辨認圖形，并能操作其幾何構圖元素（如邊、角）；能畫圖或仿畫圖形，使用標準或不標準名稱描述幾何圖形；能根據對形狀的操作解決幾何問題等。水平1，分析。該階段兒童能分析圖形的組成要素及特征，并依此建立圖形的特性，利用這些特性解決幾何問題，但無法解釋性質間的關系，也無法了解圖形的定義；能根據組成要素比較兩個形體，利用某一性質做圖形分類等。水平2，非形式化的演繹。該階段兒童能建立圖形及圖形性質之間的關系，可以提出非形式化的推論，了解建構圖形的要素，能進一步探求圖形的內在屬性和其包含關系，使用公式與定義及發現的性質做演繹推論。水平3，形式的演繹。該階段學生可以了解到證明的重要性和了解“不定義元素”、“定理”和“公理”的意義，確信幾何定理是需要形式邏輯推演才能建立的，理解解決幾何問題必須具備充分或必要條件；能猜測并嘗試用演繹方式證實其猜測，能夠以邏輯推理解釋幾何學中的公理、定義、定理等。水平4，嚴密性。在這個層次能在不同的公理系統下嚴謹地建立定理以分析比較不同的幾何系統，如歐氏幾何與非歐氏幾何系統的比較。

范希爾的幾何思維理論反映出學生幾何能力的發展分為五個水平，學生幾何思維水平的發展是循序漸進的，具有從低到高發展的次序性和進階性，范希爾幾何理論是指導幾何課程改革和幾何教學實踐的重要理論依據。幾何思維理論怎樣才能走進課堂教學實踐中？關鍵在于立足我國數學教育現狀，充分了解學生的幾何思維水平的情況，并與課標理念相結合才能更好地指導當前的幾何課程改革。這樣，理論才能具有實質性的指導意義并且才能得到更有效的應用和推廣。

二、 研究方法

1.研究工具

本文對幾何推理能力的研究主要包含圖形推理能力、類比推理能力、自然推理能力、歸納推理能力、邏輯演繹推理能力五種。按照范希爾幾何層次各編制15道試題，總計75道題。每道題5分，總分375分，題型設計上都采用選擇題，測驗時間2小時。試題是經高校從事數學教育的三位專家和二位從事多年一線數學教學工作的中學高級教師商討確定的。在幾何能力各具體因素的幾何思維水平劃分上采用如下方式：其中每一層次3道試題，每一層次學生正確解答2道試題及以上，就判斷學生在該推理方式上到達該層次水平，如果學生僅能夠正確做出1道試題及以下，就把該學生的幾何層次歸屬為下一等級。如學生在歸納推理中第四層次上正確解答出2道試題，就認為學生的歸納推理能力達到第四層次，若學生在第四層次上正確解答出1道試題，就判定其歸納推理能力為第三層次。在0層次上無論是否正確解答試題都劃歸為0層次。

2.取樣

本研究從貴陽、興義、畢節三個城市分別隨機抽取農村、城市各一所初中學校，在每所學校八年級里隨機抽取一個班級進行測試。本次參加調查的學生人數為751人，其中測試問卷答題無法辨認或無法歸屬其幾何思維發展水平的有59人。如在第一層次水平上沒能夠正確解答2道題，而在第二層次上能夠正確解答2道或3道題。剔除這些樣本后，有效試卷692份，有效率92.1%。

3.統計工具

本研究主要采用SPSS13.0對數據進行處理分析。

三、 研究結果

1.八年級學生幾何推理能力與范希爾幾何思考層次相關性

表1 八年級學生幾何推理能力和范希爾幾何思維水平相關性分析

“**P<0.01”

由表1可知，范希爾幾何思維水平與學生的幾何推理能力成顯著的正相關。說明學生的幾何推理能力強，幾何思維的水平就高。觀察學生的幾何推理能力各因素，其相互之間也存在顯著的相關性，歸納推理和類比推理、自然推理也存在中度的相關性（相關系數分別是0.428、0.437），這說明學生的推理能力是相互影響、相互促進的，發展學生的幾何推理能力需要整體考量。

2.不同幾何思維水平學生的幾何推理能力平均分和標準差

本研究中，對學生幾何推理能力劃分的主要標準是，若學生在幾何推理的五個因素測驗上，有三個及以下因素歸屬某水平，則其幾何推理能力歸屬到下一水平，若有四個或五個因素歸屬某水平，則幾何推理能力就歸屬某水平。如學生在幾何推理能力測驗中，歸納推理、類比推理和圖形推理都屬范希爾幾何思維理論2水平，而自然推理、形式邏輯推理歸屬范希爾幾何層次3水平，則其幾何推理能力歸為范希爾幾何層次2水平。學生的幾何能力最低劃歸為0層次水平。八年級學生幾何推理能力所處的幾何思維水平見表2。

表2不同幾何思維水平的學生在幾何推理能力方面的具體表現

從表2數據中可以看出，我國八年級學生幾何推理能力在思維水平上主要集中在2、3兩個層次。這說明，大多數學生具備較好的識別圖形能力，能運用基本的公式定理進行簡單的演繹推理，但在幾何推理中缺乏嚴密性和規范性。其原因一方面是青少年思維品質受到學生身心發展程度的限制，八年級學生的思維方式具體直觀思維占主體地位，抽象思維有所發展，但學生在處理幾何問題時容易出現觀察圖形片面，思維缺乏嚴密性；另一方面是幾何教育課程和教育方式對學生思維的影響，學生解決幾何問題時思路狹隘，方法呆板，條件難以有效地利用。

3.學生的幾何思維水平對其幾何推理能力的影響

（1）不同幾何思維水平學生在幾何推理能力方面的變異系數分析

表3 幾何推理各因素間的變異系數分析

由表3知，不同幾何思維水平在幾何推理能力方面的表現F值，達到極其顯著性水平。這表明，學生的幾何推理成績會因為其幾何思維水平的不同而不同。

（2）不同幾何思維水平的學生在幾何推理能力方面的比較

表4 不同幾何思維水平的學生在幾何推理能力方面的比較

由表4知，幾何思維居于0層次的學生和其它各層次的學生在幾何推理能力測驗上都會表現出差異；1層次和3層次、4層次在幾何推理能力上也會表現出極其顯著的差異；2層次和3層次、4層次的學生也會在幾何推理能力測驗上表現出顯著的差異。

四、 結論和建議

本研究表明，八年級學生的幾何推理能力和范希爾幾何思維水平成正相關，而且存在著交互影響的作用。八年級學生的幾何思維水平主要集中在層次2、層次3水平上。不同的幾何思維水平在學生的幾何推理能力測驗上也存在著顯著性差異。

因此，在幾何教學中應并行發展學生的幾何推理能力和提高其幾何思維水平。一方面，學生的幾何推理能力需要學生能夠從整體上把握圖形間的結構關系。因此，幾何教學時，要重視學生已有的知識經驗基礎，加強其對圖形的感知和辨識，進而要求學生能夠自主探索幾何圖形結構間的關系及其性質，運用螺旋上升的方式幫助學生夯實基礎。另一方面，要充分關注學生的幾何思維發展層次來組織幾何教學。幾何教學不但要關注其幾何本質和數學特點，更要關注學生不同的思維發展水平，在不同圖形的教學中考慮學生的認知基礎和思維發展規律的特點，采用循序漸進的方式促使學生的幾何思維水平向更高水平發展。

總之，學生的幾何思維水平反映了學生獨立分析問題、解決問題能力的強弱，學生的幾何推理能力是反映其對數學信息的捕捉，促進學生形成良好的數學行為和習慣的關鍵。對八年級學生進行幾何思維訓練，能夠促進其幾何推理能力的發展，提高學生的幾何推理能力也有助于其幾何思維層次的提高。學生的幾何思維能力和推理能力薄弱會對學生整個學業造成消極影響，消除這種負面的影響，是每一個從事數學教育的工作者的追求。

參考文獻

[1] 杜國平.圖形世界探秘.南京：東南大學出版社，2006.

[2] 周超.試論幾何推理的若干特點.中學數學雜志，2008（4）.