試談復(fù)數(shù)的幾何意義

陳鋒

摘 要：很多學(xué)生對于復(fù)數(shù)的理解僅僅停留在它的代數(shù)形式，即z=a+bi（a，b∈R）；沒有完成從代數(shù)到幾何的轉(zhuǎn)變。很多復(fù)數(shù)問題用幾何意義來解決更加形象直觀。

關(guān)鍵詞：z= 復(fù)數(shù)的幾何意義 直角坐標(biāo)系中的點 復(fù)數(shù)的模

中圖分類號：G4 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）03（c）-0077-01

復(fù)數(shù)作為高中文科數(shù)學(xué)湘教版選修1-2的最后一章，由于其它知識對復(fù)數(shù)沒有特殊的需要，不象其他知識點之間的聯(lián)系那么緊密，應(yīng)該說是獨立成一塊的，所以這塊知識對學(xué)生來說是很容易遺忘。我們教材中引進(jìn)復(fù)數(shù)及其某些概念也是先介紹代數(shù)形式，所以學(xué)生認(rèn)識復(fù)數(shù)最初從代數(shù)形式開始，運用代數(shù)形式理解概念、進(jìn)行運算是他們習(xí)慣性的方法。

很多學(xué)生認(rèn)為復(fù)數(shù)問題只要設(shè)z=a+bi（a，b∈R），好象都好做，事實上將復(fù)數(shù)問題實數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問題的一種重要思想。但是他們對復(fù)數(shù)的認(rèn)知并沒有隨著復(fù)數(shù)的定義z=a+bi（a，b∈R）完成從一維到二維的轉(zhuǎn)變。數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)，類比我們可以聯(lián)想到復(fù)數(shù)可以用復(fù)平面上的點來表示，實現(xiàn)復(fù)數(shù)從“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化。任何一個復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R）都可以由一個有序?qū)崝?shù)對（a，b）唯一確定，而有序?qū)崝?shù)對（a，b）與平面直角坐標(biāo)系中的點是一一對應(yīng)的。因此，以每個復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R）的實部a和虛部b組成坐標(biāo)（a，b）在復(fù)平面上可以畫出唯一的一個點P（a，b），即每個復(fù)數(shù)在復(fù)平面上有且只有一個點坐標(biāo)與其相對應(yīng)。

從很多學(xué)生解決問題的方法來看，他們中的大多數(shù)人都首先運用模的代數(shù)形式定義z=進(jìn)行運算，用距離表示模，用幾何意義來描述模是對模的概念的壓縮，例如，既能運用代數(shù)形式又能運用幾何意義解題的學(xué)生，他們將模的代數(shù)形式和幾何意義組合過程，并且作對比和概括，隨著理解的深入，一些學(xué)生能將模看作一個整體對象|z|，而不需要詳細(xì)用代數(shù)形式展開或用幾何意義表示，就能對其進(jìn)行運算，這是對復(fù)數(shù)模的概念理解的具體化階段，倘若老師堅持讓學(xué)生去進(jìn)行運算，那么這種運算就成了無對象的運算，變?yōu)槿狈σ饬x的符合游戲，學(xué)生除了死記硬背外，無法進(jìn)行有意義的操作運算，從而就出現(xiàn)了||=|| +||的錯誤。所以，教師在復(fù)數(shù)教學(xué)中要多加關(guān)注學(xué)生的思維表現(xiàn)，了解和分析他們對復(fù)數(shù)的認(rèn)知水平。

很多學(xué)生不能深入利用模的幾何意義解決問題，只是機(jī)械地記住模好象是表示一個圓，只了解復(fù)數(shù)符號的表面含義。究其原因，學(xué)生對復(fù)數(shù)的每一種形式的建構(gòu)有個過程，只有經(jīng)過一定程度的操作，才能從一種形式的認(rèn)識過渡到另一種形式，而且這種操作活動會隨著學(xué)生的差異而經(jīng)歷的時間不一樣。

1 從實數(shù)的絕對值到復(fù)數(shù)模的過渡對很多學(xué)生是個挑戰(zhàn)

初學(xué)者經(jīng)常將復(fù)數(shù)的模當(dāng)作實數(shù)的絕對值，他們屬于復(fù)數(shù)認(rèn)知的初級階段，他們只知道復(fù)數(shù)的模和實數(shù)的絕對值的符號都是|…|，“因為|Z-2|=1，所以Z-2=±1…”“若z>0，則|Z+3|=Z+3=1，若z<0，則|Z+3|=3-z=1，…”類似以上的錯誤不少，教師要善于從錯例出發(fā)，指導(dǎo)學(xué)生分別從代數(shù)形式和幾何意義上比較兩者的異同，使學(xué)生理解復(fù)數(shù)的模在代數(shù)形式上就是絕對值|a|的推廣和延伸；在幾何意義上，模是復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點到原點的距離，絕對值是實數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點到原點的距離，從絕對值到模是從一維到二維的關(guān)系，使得學(xué)生看出兩者是特殊和一般的關(guān)系。

2 學(xué)生認(rèn)知復(fù)數(shù)的模從代數(shù)式子開始，怎么實現(xiàn)代數(shù)形式和幾何意義的融合

很多老師在講授復(fù)數(shù)的模時，首先從它的代數(shù)表示入手，也就是|z|=，引導(dǎo)學(xué)生從運算性上進(jìn)行理解，學(xué)生通過大量練習(xí)而加深了對代數(shù)表示的印象。然后進(jìn)行模的幾何意義的教學(xué)，而忽略了把模的代數(shù)形式z=和復(fù)數(shù)的幾何意義相結(jié)合，使學(xué)生能更深一步地了解模的意義而復(fù)數(shù)模的概念是在復(fù)平面上表示該復(fù)數(shù)的點到坐標(biāo)原點的距離，z=其實也表示兩點之間的距離，即點（a，b）到點（0，0）的距離，而其中a與b也就是復(fù)數(shù)z的實部和虛部，使學(xué)生能更深一步地了解模的意義。學(xué)生對模的理解困難往往是把幾何意義與它的代數(shù)表達(dá)式給割裂開來，缺乏對兩者必然關(guān)系的認(rèn)識，因此，在問到有些學(xué)生|z|=1是什么意思時，很多學(xué)生只想起它的代數(shù)形式，即模長等于1，而對|z|在幾何上表示以原點為圓心，半徑為1的圓上的點這個概念很模糊。

3 復(fù)數(shù)的幾何意義對解題的幫助

利用復(fù)數(shù)的幾何意義解題的好處是如果能夠真的理解幾何意義的本質(zhì)，那么解題會變得很簡單。從幾何意義上理解，復(fù)數(shù)的模的意義為在復(fù)平面上表示z的點到原點的距離，類比向量的模，可進(jìn)一步引申：||的意義為在復(fù)平面上表示z的點到表示之間的距離。如：||=1的意義為在復(fù)平面上表示z的點到點（0，1）之間的距離為1，所以表示z的點的軌跡是以（0，1）為圓心，以1為半徑的圓。

（1）有的類型題目用代數(shù)形式很難解決，而用幾何意義卻很容易可以解出。

例：若zC，且||=1，求||的最大值。

分析：||=||=1，即在復(fù)平面上表示Z的點到點（2，-1）的距離為1，從另一個角度說，在復(fù)平面上表示z的點的軌跡在以（2，-1）為圓心，以1為半徑的圓上.所以||的最大值可以看成點（0，1）到圓上的點的距離的最大值，即連接點（0，1）與圓心（2，-1），并延長與圓相交于兩點，其中一點是最近點，一點就是最遠(yuǎn)點。點（0，1）到圓心（2，-1）的距離為 =2，最小值為2-1，最大值為2+1。

（2）復(fù)數(shù)與其在復(fù)平面上的對應(yīng)點之間的緊密關(guān)系對于解決關(guān)于1的n次方根的問題有很大的幫助。在實數(shù)范圍內(nèi)，方程 只有一個根x=1，但是在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)則不然，將方程變形為，左邊因式分解得：，分別求出x-1=0和的復(fù)數(shù)根，湊到一起就是的復(fù)數(shù)根。畫出以坐標(biāo)原點為圓心的單位，這3個復(fù)數(shù)根在復(fù)平面上的對應(yīng)點分別為（1，0），（，（都落在單位圓上，且這3個點與圓心連接剛好把圓3等分，把3個點連接起來，構(gòu)成一個等邊三角形。類似在復(fù)數(shù)范圍應(yīng)該有四個根，并且四個根在復(fù)平面上所對應(yīng)的點都在以圓點為圓心的單位圓上，依次把這四個點連接起來，構(gòu)成一個正方形……

有些學(xué)生雖然有時也知道自己的方法復(fù)雜，但他們“不愿”去反思，而是堅持自己已經(jīng)運用的方法，似乎有點“不厭其煩”，這種思維習(xí)慣，使得他們?nèi)鄙龠M(jìn)行方法的比較，從而在其認(rèn)知結(jié)構(gòu)中不能將幾何形式的表象和代數(shù)形式的表象建立有效的聯(lián)系，雖然有時也會模仿例題和老師的解題方法在坐標(biāo)系中描出復(fù)數(shù)對應(yīng)的點和圖形，但他們純粹是為了幾何表示而畫圖，對幾何圖形作為表象的直觀性體會不深，所以他們能夠應(yīng)用幾何方法的人數(shù)不多。因此，要培養(yǎng)學(xué)生把代數(shù)形式和幾何形式相結(jié)合的解題思想。