非等差、等比數(shù)列通項公式求法淺談

屠志敏

摘 要：本文從以下幾種方法論述非等差、等比數(shù)列的通項公式的求法：取倒數(shù)構(gòu)造等差數(shù)列；取對數(shù)構(gòu)造等比數(shù)列；數(shù)列各項同時加上某一常數(shù)構(gòu)造等差或等比數(shù)列；數(shù)列各項加不同的變量（或變式）構(gòu)造等差或等比數(shù)列；數(shù)列前后相鄰兩項的和（或差）構(gòu)成等差或等比數(shù)列。

關(guān)鍵詞：構(gòu)造等差 構(gòu)造等比正文 通項公式

中圖分類號：G633 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）03（c）-0060-01

數(shù)列的實質(zhì)是“按照一定規(guī)律”排列成的一列數(shù)，描述這種“規(guī)律”的最簡單的形式是通項公式。數(shù)列通項公式直接表述了數(shù)列的本質(zhì)，是給出數(shù)列的一種重要方法。因此，求數(shù)列的通項公式是研究數(shù)列的一個主要課題。掌握數(shù)列通項公式的求法，有助于學(xué)生理解數(shù)列的概念以及數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，加強(qiáng)學(xué)生對知識的橫向聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生對知識進(jìn)一步掌握；有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力、觀察力和思維能力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

構(gòu)造法是運(yùn)用數(shù)學(xué)的基本思想經(jīng)過認(rèn)真的觀察，深入的思考，構(gòu)造出解題的數(shù)學(xué)模型從而使問題得以解決。構(gòu)造法的內(nèi)涵十分豐富，沒有完全固定的模式可以套用，它是以廣泛抽象的普遍性與現(xiàn)實問題的特殊性為基礎(chǔ)，針對具體問題的特點而采取相應(yīng)的解決辦法，基本的方法是：借用一類問題的性質(zhì)，來研究另一類問題的思維方。在解決過程中，若按習(xí)慣定勢思維去探求解題途徑比較困難時，可以啟發(fā)學(xué)生根據(jù)題目特點，展開豐富的聯(lián)想拓展自己思維范圍，運(yùn)用構(gòu)造法來解題也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造意識和創(chuàng)新思維的手段之一，同時對提高學(xué)生的解題能力也有所幫助，所謂構(gòu)造數(shù)列，即對非等差（或等比）數(shù)列進(jìn)行“加工”，使之變?yōu)榈炔睿ɑ虻缺龋?shù)列，如何構(gòu)造？怎樣構(gòu)造？應(yīng)視題中所給條件而定。

5 數(shù)列前后相鄰兩項的和（或差）構(gòu)成等差或等比數(shù)列

例5：在數(shù)列中，且滿足，求數(shù)列的通項公式。

解析：將變形為則數(shù)列是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，則×，利用累加法可得。

規(guī)律小結(jié)：某些數(shù)列各項不成等差或等比數(shù)列，但其前后相鄰兩項的和（或差）可構(gòu)成等差或等比數(shù)列，若已知數(shù)列連續(xù)三項滿足某種關(guān)系，可考慮此種解法。

由于求數(shù)列通項公式時需要滲透多種數(shù)學(xué)思想方法，特別是在一些綜合性比較強(qiáng)的數(shù)列問題中，求解過程往往顯得方法不一、技巧性強(qiáng)，需要我們具體問題具體分析。本文首先歸納總結(jié)中學(xué)數(shù)學(xué)中幾種常見的數(shù)列類型及其處理方法，然后結(jié)合函數(shù)的思想給出構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式的方法。希望讀者能通過自己的實踐，真正掌握其精髓所在！這樣無論從內(nèi)容的發(fā)散，還是解題思維的深入，都能收到固本拓新之用，收到“秀枝一株，嫁接成林“之效，從而有利于形成和發(fā)展創(chuàng)新的思維。

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