具有干擾和協方差反饋的多天線系統信道容量

王 謙 岳殿武，2 閆秋娜

(1.大連海事大學信息科學技術學院，遼寧 大連 116026；2.東南大學移動通信國家重點實驗室，江蘇 南京 210096)

引 言

隨著對無線通信業務需求的日益增加，人們對傳輸速率等指標提出了更高的要求.理論研究表明多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output， UMIMO)多天線無線通信系統和傳統單發單收單天線系統相比可顯著提高系統的信道容量，因而MIMO技術成為當今無線通信領域的熱門話題[1].

根據發射端對信道狀態信息(Channel State Information,CSI)的掌握程度不同，MIMO信道容量存在很大差異.發射端獲得CSI的程度大致分為三類：1)完全獲知CSI；2)部分獲知CSI；3)完全未知CSI.理論研究表明，在獲得不同程度CSI情況下，發射端對發射信號協方差矩陣的構造方式存在很大差異，相應的信道容量也有很大區別[1].部分獲知CSI是指發射端已知關于信道的統計信息，如關于信道的協方差信息.因為信道矩陣的相關性關于時間相對穩定，所以進行協方差反饋可以極大地減少額外開支，且系統相對便于實現.完全獲知CSI系統性能最好，但實踐難度最大；而完全未知CSI 時，理論比較容易展開，但實際性能要比部分獲知CSI情況差很大[1-2].因此，這里將著重探討最重要的部分獲知CSI情況.

在無同信道干擾情況下，發射信號協方差矩陣完全決定于MIMO信道的統計特性[3-4].在瑞利衰落下，文獻[3-4]將信道容量建立為矩陣變量的優化問題.其中文獻[3]考慮了存在接收相關的MIMO信道，而文獻[4]則將MIMO信道模型推廣到既存在接收相關又存在發射相關的MIMO信道情況.此外，文獻[3-4]還給出了利用協方差反饋所得最優發射信號協方差矩陣所具有的特征，以及在此情況下波束成型技術可以獲得最優性能的充分必要條件.對于任意給定發射信號協方差矩陣，文獻[5]則推導出遍歷信道容量的閉式表達式.在賴斯信道下，MIMO信道容量取決于均值和協方差的反饋信息.由于在該信道下的分析難度較大，已知的研究或者對信道模型進行了簡化[6]，或者對發射信號進行了限制[7].其中文獻[6]針對多輸入單輸出系統提出一種利用均值與協方差信息反饋的信道容量優化方案；而文獻[7]則針對MIMO系統給出小信噪比下發射信號協方差矩陣的表達形式.通過利用遍歷容量的二階近似，文獻[8]對容量的最優化問題進行了深一步探討.

在現代通信系統特別是蜂窩移動通信系統中，為了提高頻譜利用率，相距足夠遠的通信鏈路常采用相同的載頻，這將不可避免地在通信過程中引入嚴重影響通信質量的同信道干擾[9].當存在同信道干擾時，相關結論還鮮有報導，所以，將探討部分獲知CSI情況下具有同信道干擾的MIMO遍歷信道容量最優化問題.特別地通過已知的協方差信息，利用大數定理和非線性規劃理論中的梯度映射算法，提出一種發射信號協方差矩陣的近似最優構造方式，并通過仿真分析給出一些相關性質.

1 系統模型

考慮一個具有M根發射天線和N根接收天線的MIMO系統，則發射端與接收端之間的信道可以用N×M的信道矩陣H表示.令其衰落統計為瑞利分布，發射端相關矩陣為Ωt，接收端相關矩陣為Ωr.現假設接收端的相關矩陣為單位對角矩陣，即Ωr=IN.這表示接收天線元素之間是統計獨立的.該假設適用于接收天線距離較大的上行鏈路，即接收端為基站的情況.假設外界同信道干擾源個數為L，第i個干擾源具有Mi根干擾天線，其至接收端的信道矩陣為Hi，而矩陣Hi的內部元素服從獨立同分布的瑞利衰落，這里i=1，2，…，L.則在接收端，N維接收信號向量y可以表示為

(1)

式中：ρ和ηi分別表示發射信噪比和第i個干擾源的干擾噪聲比； 向量n表示高斯白噪聲向量，它的協方差矩陣為IN；x和xi分別表示發射信號和第i個干擾源的干擾信號，二者均為零均值的高斯向量，具有的協方差矩陣分別為S和Si，i=1，…，L.最后假設Si=IMi/Mi，其中IM表示M階的單位對角矩陣.由文獻[10]可知，這是一種容量下界的情況.

假設接收端可以獲得準確的CSI，而發射端僅獲知信道發射端的互相關矩陣Ωt以及干擾功率ηi，i=1，…，L，根據信息論理論，條件互信息量可以表示為[1]

(2)

式中

(3)

所以遍歷信道容量表示為[1]

I=E(IH，Hi，1≤i≤L)

(4)

式中E(·)表示統計平均.

2 遍歷容量的近似最優化

首先考慮對同信道干擾成分的等效.當干擾天線數目很大時，因為矩陣Hi的元素服從獨立同分布的瑞利衰落，所以由文獻[1]的結論可以得到下列關系

(5)

將式(5)代入式(3)，即得到

(6)

(7)

(8)

(9)

并將式(8)和(9)帶入式(7)，可得到

(10)

(11)

令Λs=diag(s1，…，sM)，Λt=diag(t1，…，tM).同時為了便于書寫，令s=(s1，…，sM)T，t=(t1，…，tM)T.遍歷信道容量的最優化問題就化為了以下問題：

s.t.s1+…+sM=1，

si≥0，i=1，…，M.

(12)

令滿足式(12)限制條件的所有元素的集合為Δ.

對于式(12)，至今最優解向量s仍然無法利用閉式表達[4]，所以與文獻[11]的分析思路相似，將利用梯度映射算法，通過迭代實現遍歷信道容量的優化.

首先，定義下列符號，以引出遍歷容量的閉式表達式.令

(13)

利用文獻[5]的結論，當M≤N時，遍歷容量表達式為

(14)

式中：Φ1(k)的(i,j)位置的元素

{Φ1(k)}i，j=

(15)

(16)

(17)

至于M>N的情況，將在附錄中給出表達式.

梯度映射算法常用于求解帶有約束條件的函數最優值問題，該算法是最速下降法在約束條件下的延伸[15].在上文背景下，其步驟如下：

1) 設定最大迭代次數kmax和起始點s(0)=(s1(0)，…，sM(0))T，使其滿足s(0)∈Δ，此時令k=0.

2) 計算遍歷容量表達式I在點(s1(k)，…，sM(k))處的梯度g.則g可以表示為

(18)

3) 選擇合適的γk，并令

s′(k)=s(k)+γkg(k).

(19)

5) 選擇合適的αk，并令

(20)

6) 令k=k+1，檢查k是否達到了最大迭代次數kmax，如果達到kmax則退出迭代；如果未達到kmax，則檢查s(k+1)-s(k)中最大元素的取值δ，如果δ大于預設值ε，則回到第2步；如果δ≤ε，則退出迭代.

在進行上述算法的過程中，主要涉及如下4方面內容：

1) 初值的選擇和對向量的排序問題；

2) 導數的求解；

4) 如何選擇合適的步長αk.

下面對以上問題逐個進行解決.

2.1 初始值的選擇和對向量元素的排序

2.2 導數的求解

為了便于分析，分別考慮式(14)的分子和分母部分.

對于分母部分，令

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

對于分子部分，令

F2(k)=det(Φ1(k))，

(27)

{F2(k，r，m)}i，j=

(29)

(30)

(31)

I1(n，u，b)= (-1)n-1bnebuEi(-bu)+

(32)

(33)

(34)

2.3 映射

應用文獻[11]可以得到

(35)

(36)

不難看出，式(36)是μ的單調遞減函數，而μ的取值可以利用二分法[16]獲得.

2.4 步長αk的確定

利用Armijo法則[15]可獲得步長αk.在算法迭代過程中，令γk=1，β是取值在0.1到0.5之間的常數，σ是取值在0到1之間的常數，并令αk=βmk其中mk的取值即為最小的使不等式(37)成立的非負整數.

I(s(k+1))-I(s(k))

(37)

3 仿真結果

首先觀察本文方法的容量性能，并與完全獲知CSI、完全未知CSI兩種典型系統容量進行對比.為便于說明，分別簡稱以上兩種系統為Ⅰ系統和Ⅱ系統，而本文方法對應的系統簡稱為Ⅲ系統.Ⅰ系統容量通過廣義注水算法(Ceneralized Water Filling,GWF)獲得[11]；Ⅱ系統容量通過信號協方差矩陣取單位對角矩陣獲得[1].

圖1比較三種系統的遍歷容量.圖中每個系統含有2根發射天線和2根接收天線，發射信噪比為10 dB，r=0.9，共有2個等功率干擾源，每個干擾源帶有2根干擾天線.通過觀察可以發現，Ⅲ系統的容量始終介于Ⅰ系統和Ⅱ系統容量之間.

圖1 三種系統容量比較

為了考察Ⅲ系統的實用性，我們從信噪比、干擾源天線數以及相關系數三方面進行仿真.為了便于比較，定義Ⅲ系統的容量為CGP，I系統的容量為CGWF，Ⅱ系統的容量為CNoCSI，并定義容量比x1=CGP/CGWF，容量比x2=CNoCSI/CGP.容量比x1表示Ⅲ系統容量與Ⅰ系統容量接近程度；而容量比x2表示Ⅱ系統容量與Ⅲ系統容量的接近程度.

圖2，3和4分別比較信噪比，干擾天線數目以及相關系數r對x1的影響.仿真過程假設收發天線數相等，均為2.圖2中令干擾天線數目為2，r=0.1.圖3中信噪比為20 dB，r=0.1，并且橫軸的SIR表示信號總功率與總干擾功率的比值.圖4中信噪比取20 dB，干擾天線個數為2.由仿真曲線可以看出:信噪比的取值越大以及干擾天線數目越少，Ⅲ系統容量與I系統容量越接近；而相關系數對性能的影響則相對復雜，通過曲線可以看出：在低信干比即強干擾處，r的取值越大，兩系統的容量性能越接近；當信干比取值較大即干擾較弱時，結論恰好相反.由此可得，在強干擾和強相關以及在弱干擾和弱相關情況下，Ⅲ系統容量將接近I系統容量.

圖2 Ⅲ系統與Ⅰ系統容量比隨信噪比變化情況

圖3 Ⅲ系統與Ⅰ系統容量比隨干擾天線數目變化情況

圖4 Ⅲ系統與Ⅰ系統容量比隨相關系數變化情況

我們也分別觀察了信噪比、干擾天線數目以及相關系數r對x2的影響，相應的關于容量比x2的仿真結果分別類似圖2，3和4.這些仿真結果可以總結為，在強干擾和很強的相關特性時，x2的取值較小，Ⅲ系統容量相比II系統容量明顯提高.

綜上可以得出，在強干擾以及信道矩陣具有很強相關性時，我們所考慮的協方差反饋系統具有很高的實際應用價值.

圖5 Ⅲ系統容量隨信道矩陣相關系數r的變化情況

下面通過Monte-Carlo仿真觀察Ⅲ系統容量隨信道矩陣相關系數r的變化情況，圖5考慮2發2收的MIMO系統，發射信噪比為20 dB，系統帶有3個干擾源，每個干擾源裝備2根天線.由仿真結果可以看出，當SIR大于一個取值后，容量取值將隨r的增加而減小，當SIR小于這個取值時，結論恰好相反.

在實際通信鏈路中，干擾信道往往具有發射相關性，干擾信號協方差矩陣Si取值也往往與本文的假設不同，由文獻[10]可知，該遍歷容量性能將優于此前討論的情況.為了便于討論，定義IV系統如下：所有干擾信道的發射相關矩陣為指數模型并且相關系數ri都相等，Si為利用天線數歸一化的單位對角矩陣.

圖6的仿真曲線是利用3發3收系統得到，系統帶有1個干擾源，干擾天線數為4，發射信噪比為20 dB，r和ri的取值如圖所示.注：(a，b)=(r=a，ri=b).

圖6 Ⅲ系統容量與IV系統容量的比較

由仿真結果圖6可以看出:本文模型Ⅲ是相同信道模型下的容量下界，然而與更為一般的IV系統相比，容量的差別很小，尤其當信噪比很大時，兩種模型可以相互等效.

4 結 論

在帶有同信道干擾和協方差矩陣反饋情況下，提出了優化MIMO系統信道容量的傳輸方案.通過仿真發現在強干擾以及信道矩陣具有很強相關性的條件下文中所提出的方案可以接近最優傳輸方案.

帶有同信道干擾的MIMO系統信道容量問題，理論研究難度很大，但卻十分有實踐意義.值得注意的是，目前涌現的理論相關的干擾對齊技術已在通信學界得到廣泛關注[14].

附錄A

由文獻[5]，當M>N時，遍歷容量的表達式可以寫成如下形式：

(A1)

式中：

(A2)

{Φ2(k)}i，j=

(A3)

經過觀察發現，式(A1)的分母部分與正文中式(14)具有相同的結構，所以不再重復關于分母部分的求導問題.

討論式(A1)分子部分的求導問題.與正文討論問題的方法類似，首先令

G2(k)=det(Φ2(k))，

(A4)

式中：

{G2(k，r，m)}i，j=

(A5)

式(A5)包含的2個積分式可以參考正文中式(29)～(33)進行化簡.

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