超圖建模法及其在車輛傳動系統(tǒng)中的應用*

唐正華，閆清東，冷韶華，劉 毅

(1.北京理工大學機械與車輛學院，北京 100081;2.裝甲兵學院模擬訓練中心，蚌埠 233050;3.山東經(jīng)貿(mào)職業(yè)學院，濰坊 261011;4.裝甲兵學院裝甲裝備教研室，蚌埠 233050)

前言

隨著技術(shù)的發(fā)展，坦克裝甲車輛動力傳動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)也日益復雜與多樣，經(jīng)歷了定軸齒輪傳動向行星傳動、液力傳動和液力機械傳動等形式演變［1］。傳動系統(tǒng)的復雜性給其設計與分析帶來了困難;因建模復雜，目前RecurDyn、Adams和CFX等商業(yè)軟件都難以有效解決多工程領(lǐng)域的混合問題［2］;鍵合圖理論將多種物理參量統(tǒng)一為勢變量、流變量、廣義動量和廣義位移4種廣義變量，隱藏了機液電等不同能域之間的差異;然而，在傳動系統(tǒng)存在功率循環(huán)時，鍵的方向無法確定，增加了動力傳動系統(tǒng)的鍵合圖模型構(gòu)建的復雜性［3］。超圖理論［4］是有效解決此種未確定功率流向的方法之一。

超圖是圖論的一個分支，作為最一般的離散結(jié)構(gòu)，超圖非常適合對龐大復雜系統(tǒng)進行拓撲描述。隨著大規(guī)模集成電路和計算機技術(shù)的高速發(fā)展，超圖在信息科學、生命科學和工程技術(shù)等領(lǐng)域的應用越來越廣泛。本文中基于超圖理論，構(gòu)建車輛傳動系統(tǒng)轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)矩超圖模型，運用深度優(yōu)先搜索算法［5］，自動獲得傳動系統(tǒng)的擋位信息，為設計計算提供了有效的手段，提高了分析與設計效率。

1 典型部件的超圖模型

超圖是有序三元組(V，E，Φ)的數(shù)學表示，其中V為頂點集，E為邊集，Φ為E到V中元素有序?qū)驘o序?qū)Υ氐暮瘮?shù)，稱為關(guān)聯(lián)函數(shù)［6］。V中的元素為頂點，E中元素為邊。關(guān)于頂點集V，存在邊e=(v1，v2，…，vi)，vi∈V，若 i=1，即邊 e只含有1 個頂點，這樣的邊稱為自環(huán)邊;若i=2，即含2個頂點的稱為普通邊;若i≥3，即含3個和3個以上頂點的邊，稱為多元邊。自環(huán)邊、普通邊和多元邊統(tǒng)稱為邊。邊的圖形表示如圖1所示。

基于超圖理論的建模方法是:研究某一類事物和它們之間的某種聯(lián)系時，若用頂點表示某一類的若干事物，用邊表示它們之間的聯(lián)系，并將聯(lián)系的具體形式——關(guān)聯(lián)函數(shù)作為屬性賦給邊，即可把研究對象抽象為由一組點和連接這些點的一組邊所構(gòu)成的超圖。屬性用［·］表示。

車輛傳動系統(tǒng)由各個傳動部件組成，構(gòu)建傳動部件的超圖模型是建立傳動系統(tǒng)超圖模型的基礎。傳動部件的超圖模型具體構(gòu)建規(guī)則如下:(1)部件組成元件映射為頂點，元件間的連接關(guān)系映射為邊;(2)賦予頂點所映射元件的轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩屬性，賦予邊映射關(guān)系所對應的數(shù)學模型;(3)基于運動學和動力學，分別構(gòu)建轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩超圖模型;(4)針對控制元件，構(gòu)建其不同控制狀態(tài)下的轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩超圖模型。

以基本行星排為例，行星排由太陽輪t、齒圈q和行星架j 3個元件組成，它們之間存在的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩關(guān)系式如下:

式中:nt、nq、nj和 Tt、Tq、Tj分別為太陽輪、齒圈、行星架的轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩;k為行星排的特性參數(shù)。

構(gòu)建的轉(zhuǎn)速超圖模型如圖2所示。轉(zhuǎn)速超圖模型中，太陽輪、齒圈和行星架映射為頂點 vt、vq、vj，式(1)轉(zhuǎn)速關(guān)系式映射為三元邊(vt，vq，vj)。將3元件的轉(zhuǎn)速附加到超圖模型的頂點屬性上，如頂點vj的轉(zhuǎn)速屬性是 vj［n］，其值為 nj。邊(vt，vq，vj)轉(zhuǎn)速屬性是(vt，vq，vj)［n］，其值是 nt+knq－ (1+k)nj，滿足式(1)的關(guān)系。

構(gòu)建的轉(zhuǎn)矩超圖模型如圖3所示。太陽輪、齒圈和行星架間的轉(zhuǎn)矩關(guān)系式(式(2))映射為邊(vj，vq)和邊(vj，vt)，且有這樣的屬性:(vj，vq)［T］=kTj+(1+k)Tq，(vj，vt)［T］=Tj+(1+k)Tt。

離合器、制動器、定軸齒輪對、行星排和液力變矩器等典型部件，在車輛傳動系統(tǒng)中極為常見，它們之間通過機械或液力等形式完成能量傳遞或轉(zhuǎn)換。典型部件的超圖模型如表1所示，限于篇幅，表中未標明頂點和邊的屬性。

2 傳動系統(tǒng)的超圖模型

將傳動系統(tǒng)的各個組成部件模塊化，建立部件超圖模型，并將部件間的物理連接映射為超圖模型的邊，構(gòu)建傳動系統(tǒng)的超圖模型。其具體構(gòu)建規(guī)則如下:(1)基于運動學和動力學，分別構(gòu)建傳動系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩超圖模型;(2)因傳動系統(tǒng)存在控制件，須針對不同的控制狀態(tài)建立相應的轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩超圖模型;(3)建立傳動系統(tǒng)組成部件的轉(zhuǎn)速超圖模型，將連接兩個部件的只具連接關(guān)系的軸(或忽略軸的柔性和慣量)映射為轉(zhuǎn)速超圖模型的邊;(4)建立傳動系統(tǒng)組成部件的轉(zhuǎn)矩超圖模型，將連接兩個及以上部件間的只具連接關(guān)系的軸(忽略軸的柔性和慣量)映射為轉(zhuǎn)矩超圖模型的多元邊，若定軸齒輪對存在惰輪，則對惰輪構(gòu)建自環(huán)邊;(5)將傳動系統(tǒng)的輸入與輸出映射為超圖模型的源點與目標點，若傳動系統(tǒng)不存在動力輸入或動力輸出部件，則通過引入虛頂點來描述假想的動力輸入輸出元件，將動力輸入和輸出關(guān)系映射為邊，構(gòu)建完整的轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩超圖模型。

注:(1)其他6種基本行星排和普通行星排類似，其差別只反映在數(shù)學模型上，而轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩超圖模型的拓撲形式不變;(2)數(shù)學模型中的“－”表示對應工作狀態(tài)的該部件各端口間不存在轉(zhuǎn)速或轉(zhuǎn)矩關(guān)系式;(3)定軸齒輪對在作為傳動組件時，其構(gòu)成元件未全部與其他組件或元件有連接關(guān)系(如存在惰輪)的情況下，其轉(zhuǎn)矩會增加一條轉(zhuǎn)矩為0的關(guān)系式，相應地轉(zhuǎn)矩超圖模型也發(fā)生改變。

以圖4所示某定軸變速器為例，分別建立其轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩超圖模型。該變速系統(tǒng)由輸入錐齒輪副1，齒輪副2、3、4、5 和離合器 CL、CH、CR、C1、C2、C3等通過軸I、II、III構(gòu)成單輸入雙輸出系統(tǒng)。

空擋(即離合器 CL、CH、CR、C1、C2、C3 都處于分離狀態(tài))時的轉(zhuǎn)速超圖模型如圖5所示。其中標號11、12分別表示構(gòu)成錐齒輪副1的兩個齒輪，用CL、CL表示CL離合器的主被動邊，其余類推。為了更清楚地描述傳動系統(tǒng)的輸入輸出，引入虛頂點I、O1和O2，分別表示系統(tǒng)的輸入、左側(cè)和右側(cè)輸出。頂點I是超圖模型的源點，頂點O1、O2是超圖模型的目標點。

從圖中可以看出，28個頂點構(gòu)成了頂點集，25條邊構(gòu)成了邊集。系統(tǒng)分析時，一個頂點表示一個自由度，一條邊表示一個約束，則該系統(tǒng)的自由度為28－25=3。當已知系統(tǒng)輸入時，即增加了自環(huán)邊(vI)，相當于增加了一個約束，系統(tǒng)的自由度降為2。此時通過對控制件離合器的操縱組合，增加兩條邊，使得頂點集與邊集所含元素個數(shù)相等，即可將系統(tǒng)自由度降為0，即得到該系統(tǒng)的某一個擋位。例如結(jié)合離合器CL與C1，即可實現(xiàn)該變速系統(tǒng)的一個擋位，該擋位用(CL，C1)表示。

忽略連接傳動部件間軸的柔性和慣量，構(gòu)建擋位(CL，C1)下的轉(zhuǎn)矩超圖模型，如圖6所示。

從圖中得知，共有28個頂點和26條邊，在已知系統(tǒng)輸入，即增加自環(huán)邊(vI)時，通過轉(zhuǎn)矩超圖模型，經(jīng)過拓撲運算，可以構(gòu)造出轉(zhuǎn)矩平衡方程組，即可解得系統(tǒng)輸出O1與O2的轉(zhuǎn)矩之和。這表明該系統(tǒng)在擋位(CL，C1)下存在功率分配情況，受兩側(cè)負載影響。同理，可分析其他擋位下的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)矩情況。轉(zhuǎn)矩超圖模型配合轉(zhuǎn)速超圖模型，可自動列出傳動系統(tǒng)運動學和動力學平衡方程組，進行傳動系統(tǒng)性能的分析與計算。

3 擋位自動分析

基于傳動系統(tǒng)空擋下的轉(zhuǎn)速超圖模型，運用深度優(yōu)先搜索算法，通過操縱控制元件，搜索源點I到目標點O的通路，即可得到該傳動系統(tǒng)的一個擋位，其算法流程圖如圖7所示。

圖5所示的轉(zhuǎn)速超圖模型中，因目標點O1與O2連通，只須找出源點I與目標點O1的通路即可得到擋位信息。搜索結(jié)果如下，該變速器可能實現(xiàn)的擋位數(shù)為 9，分別為:(CL，C1)，(CL，C2)，(CL，C3)，(CH，C1)，(CH，C2)，(CH，C3)，(CR，C1)，(CR，C2)，(CR，C3)。該方法得到的結(jié)果與其他傳動設計計算得到的相一致［7］，表明該方法是可行的。

在已知傳動系統(tǒng)組成部件的特性參數(shù)時，如齒輪齒數(shù)或速比，可由搜索路徑P構(gòu)成轉(zhuǎn)速平衡聯(lián)立方程組，求解得出各個擋位下傳動系統(tǒng)的傳動比。設計時可根據(jù)設計要求和車輛行駛性能要求，選取全部或部分擋位作為最終設計擋位。

4 結(jié)論

(1)基于超圖理論，構(gòu)建了典型部件和傳動系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩超圖模型，該模型為設計傳動系統(tǒng)和計算機輔助分析傳動系統(tǒng)的性能提供了有效的解決方案。

(2)運用深度優(yōu)先搜索算法，對傳動系統(tǒng)轉(zhuǎn)速超圖模型的搜索運算，實現(xiàn)了傳動系統(tǒng)擋位自動分析，獲得了各擋位的傳動比等信息，為設計分析人員提供了快速的分析手段。

［1］ 閆清東，張連第，趙毓芹，等．坦克構(gòu)造與設計(下冊)［M］．北京:北京理工大學出版社，2007:94－98．

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［3］ 武亞敏．車輛傳動系統(tǒng)的動力學鍵合圖建模及仿真研究［D］．北京:北京理工大學，2003:9－17．

［4］ Berge C．Graphs and Hypergraphs［M］．New York:North Holland Publishing Company，1973:389 －413．

［5］ 王樹禾．圖論及其算法［M］．合肥:中國科技大學出版社，1990:92－100．

［6］ 王建方．超圖的理論基礎［M］．北京:高等教育出版社，2006．

［7］ 閆清東，李慎龍，姚壽文．基于圖論的行星變速機構(gòu)分析方法［J］．吉林大學學報(工學版)，2010，40(4):1029 －1033．