兩類三角平均的Schur凸性*

張　帆 , 張益池

(湖州職業技術學院, 浙江　湖州　313000)

1　引言

設a,b∈+,則稱為兩個正數a,b的算術平均，Gh.Toader和J.Sádor在文獻[1]中提出了有關兩個正實數a,b的三角平均：

當a≠b時，

(1)

(2)

當a=b時，Msin(a,b)=Mtan(a,b)=a。并給出不等式：Msin(a,b)

文獻[2]討論了Msin(a,b),Mtan在[0,π/2]上的Schur凸性，并加細了上述不等式，其結果是：對于a,b∈[0,π/2]，a≤b，有：

本文類比文獻[2]，定義如下兩個新的三角平均：當a≠b時，

(3)

(4)

當a=b時，Mcos(a,b)=Mcot(a,b)=a。

本文根據凸函數理論，證明Mcos在[0,π/2],上是Schur凸函數，Mcot(a,b)在,[0,π/2],上是Schur凹函數，并由此給出一個新的不等式鏈。

2　定義和引理

為證明本文的主要結果，需要如下定義和引理：

對于x=(x1,x2,…xn)∈n將x的分量遞減重排后，記作x[1]≥x[2]≥…≥x[n]，并用x≤y表示xi≤y1,i=1,2,…,n。

定義1[3]設x,y∈滿足：

定義2[3]設Ω?n，φ:Ω→R。

(1)若在Ω上x≤y?φ(x)≤φ(y)，則稱φ為Ω上的增函數；若-φ是Ω上增函數，則稱φ為Ω上的減函數；(2)若在Ω上xy?φ(x)≤φ(y)，則稱φ為Ω上的Schur凸函數；若-φ是Ω上Schur凸函數，則稱φ為Ω上的Schur凹函數。

引理1[3]設Ω?n是有內點的對稱凸集，φ:Ω→φ在Ω上連續，在Ω的內部Ω0可微，則φ在Ω上Schur凸(凹)的充要條件是φ在Ω上對稱且對任意x∈Ω0，有：

3　主要結果及其證明

定理1Mcos(a,b)在[0,π/2]上是Schur凸函數。

即

(5)

不妨設F(x)=sin2x，易證F(x)在[0,π/2]上為凹函數，由Hadamard不等式[5]：

(6)

根據引理1可得Mcos(a,b)在[0,π/2]上是Schur凸函數。

定理2在Mcot(a,b)在[0,π/2]上是Schur凹函數。

(7)

下面證明：f(a,b)≤0

(8)

不妨設G(x)=cotx，易證G(x)在[0,π/2]上為凸函數，由Hadamard不等式[5]：

即證：

這是顯然的,結論(8)式成立。

推論對于a,b∈[0,π/2],a≤b，有

參考文獻：

[1] Gh.Toader，J.Sádor.Inequalities for general integral means[J].Joumal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics,2006(1):13.

[2] 姜衛東.兩個三角平均的schur凸性[J].高等數學研究,2008,11(2): 46-47.

[3] 王伯英.控制不等式基礎[M].北京:北京師范大學出版社,1990:59-61.

[4] 李大矛,顧春,石煥南.Heron平均冪型推廣的Schur凸性[J].數學的實踐與認識,2006,36(9):387-390.

[5] 匡繼昌.常用不等式(第四版)[M].濟南:山東科學技術出版社,2010:430.