高等數學在《量子力學》中的作用

李永峰 陳 華

（內蒙古科技大學 數理與生物工程學院，內蒙古 包頭 014010）

量子力學是研究微觀粒子運動規律的物理學分支學科，它主要研究原子、分子等微觀客體的運行規律。由于量子力學的出現，材料的半導體性、超導性、磁性都有了突破性的進展，除此之外它在化學等有關學科和許多近代技術中也得到了廣泛的應用。數學是人類認識客觀世界的重要工具，通過抽象、概括及推理來描述自然科學中各種量的變化關系。高等數學是理工科專業學生都要學的基礎課程，“高等”是相對學生中學所學的數學而言的，它比中學數學更抽象，但邏輯更為嚴密和應用更為廣泛。它的抽象性、邏輯性在量子力學中得到充分的應用。想要學好量子力學，理解量子力學，數學基礎是必不可少的。

1 量子力學的建立與數學密不可分

量子力學是在波爾氫原子理論、德布羅意物質波理論基礎上，先由薛定諤和海森堡獨立提出，又經過狄拉克等人補充完善而建立的。

微分方程與薛定諤理論。1923年德布羅意根據類比的關系提出電子如同光子一樣具有波粒二象性，給出了著名的德布羅意關系:E=?ω，p→=?k→，結合駐波理論可以解釋波爾氫原子理論中穩定的電子軌道。物質波被戴維孫和革末在實驗上所證實，但它的本質和運動規律卻不清楚。薛定諤把電子看成一團帶電物質作松緊振動的實體波，從經典力學出發導出這種物質波滿足的微分方程——薛定諤方程，它以簡潔的數學形式描述了物質波在空間中隨時間的演化規律，是量子力學的重大突破。利用薛定諤方程方程，不需要波爾的三種假設:定態假設、躍遷條件和角動量條件，可以得到和波爾氫原子理論相同的結果，使人類認識微觀世界脫離了波爾那種半經典半量子模型，量子力學觀念迅速的被接受和認可。

矩陣與海森堡理論。海森堡認為解開原子之謎，只能從可觀察的數量入手。海森堡接受波爾理論中被實驗所證實量子化的概念，如能級、定態、量子躍遷等概念，忽略了電子軌道的觀點。他從經典力學中的哈密頓正則運動方程出發，指出原子穩定態的理論需要電子坐標、動量等物理量必須用厄米矩陣描述，由于經典力學中的乘法與矩陣乘法有巨大的區別，導致力學量之間存在對易關系，接受這種對易規則，微觀體系中包括能量在內的確定值和平均值都能給出，還可以計算出兩個定態之間的躍遷概率。隨著計算機的發展，矩陣力學在量子力學中的應用更為廣泛。

薛定諤在提出波動力學之后，接著證明了它與海森堡的矩陣力學是等價的。量子力學更普遍的表述是由狄拉克等人完成的，他們仔細分析了波動力學和矩陣力學的本質特征，結合數學中矢量運算中的坐標系選取的觀點，認為不同的物理問題需要不同量子力學形式描述更為方便，整理出表象理論，使量子力學體系更加完美。

2 量子力學與數學工具

量子力學中的狀態用波函數來描述，每一個波函數可以看成數學中的希爾伯特空間的一個矢量。空間的運算法則，如矢量的加法、數乘、內積也是量子力學中基本運算，基矢量的線性無關和完全性與力學量的本征態的特點對應。量子力學中的力學量用算符或者矩陣來描述，數學中的微分方程和矩陣運算對與量子力學就尤為重要。此外作為可觀測的力學量，它的取值有確定值和期望值兩種，理解確定值需要學好數學中本正值與本整函數理論，期望值的概念涉及到數學中與概率相關的知識。在表象理論中波函數在坐標表象下和動量表象下的描述可以看成是數學中的傅里葉變換，表象變換就是線性代數中的幺正變化。

想學好量子力學，以下相關的數學知識需要特別留意。

厄米方程與諧振子模型。任意在平衡位置附近的小振動都可以用諧振子模型來描述，如果選擇合適的坐標系，該物理模型可以分解成一系列相互獨立的一維諧振動。諧振子是量子力學中為數不多的可以精確求解的例子，研究清楚諧振子問題，對理解量子和應用量子力學都有巨大的幫助。有關諧振子問題就需我們掌握厄米方程相關問題，要知道厄米方程:

球諧函數與氫原子理論。氫原子問題被薛定諤方程嚴格求解，是量子力學建立初期的巨大成就。有關氫原子問題，其本質是電子在庫侖場中的運動，涉及到的相關數學知識是與角動量算符本征方程:

理解球諧函數Ylm（θ，φ）的特征,有利于相關知識的掌握。

δ函數。波函數的歸一化在量子力學中非常重要，本正值是連續譜的情況下，波函數的歸一化就是δ函數，要想熟練地進行相關運算，δ函數的特征必須熟悉:

3 量子力學與數學相輔相成。

綜上所述，量子力學的產生、完善都與高等數學密切相關，其中涉及到了大部分高等數學知識，如數學分析、線性代數、概率統計、微分方程等。學生想要學好量子力學，相關的數學知識必須掌握扎實。同時學生在本科期間所學的高等數學知識，在量子力學中都能得到應用。量子力學這門課程一般都開設在本科第三學年，正是高等數學都已學完，學生開始準備考研的關鍵時期，如果能利用量子力學這門課程，加強學生數學方面的訓練，不僅能提高量子力學的教學質量，對培養學生的綜合科研素質也有幫助。

［1］曾謹言.量子力學:卷 I[M].3 版.科學出版社，2000.

［2］喀興林.高等量子力學[M].2 版.高教出版社，2001.