信號處理類課程教學中概念的引入

摘要：《信號與系統》和《數字信號處理》是兩門信號處理類課程，它們是電子信息類的兩門重要的專業基礎課程。為了使學生更好的理解該類課程中的概念，利用“假設推理引入法”、“問題引入法”、“比較總結引入法”等方法來引入相關概念；這樣做既可使學生理解概念的內涵和外延，又可鍛煉學生分析問題、解決問題的能力。

關鍵詞：信號與系統；數字信號處理；概念引入

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）17-0200-03

信號處理類課程是指《信號與系統》和《數字信號處理》，它們是電子信息類的兩門專業基礎課程，重要性不言而喻。這兩門課程以《高等數學》、《復變函數》和《電路分析》為基礎，以致內容涉及較多的數學公式推導。對于初次接觸的學生來說，信號處理的內容晦澀難懂。為了提高學生的學習興趣，許多教育同仁在該類課程的課堂教學方面進行了有效的探索，我們可以嘗試以概念的引入為切入點，在信號處理類課程的講解中將理論推導和實踐理解結合起來。我們可以通過各種方式來對概念進行引入，如“假設推理引入法”、“問題引入法”、“比較總結引入法”等方法來將要講解的概念進行引入，將理論推導和實踐應用目的的講解結合起來，這樣，一方面可以使學生更好地理解概念的內涵和外延，另一方面可以鍛煉學生分析問題、解決問題的能力。

一、假設推導引入法

在《信號與系統》課程中，周期信號的傅立葉級數分解的相關概念和公式的引入是很重要的。例如，周期信號的兩種傅立葉級數的分解形式（見式（1）和式（2））：

f（t）=■+■ancos（n？贅t）+■bnsin（n？贅t） （1） f（t）=■Fn·ejn？贅t （2）

雖然在之前已經給出了信號的正交分解的相關概念；但是，很多課本在給出這兩種分解形式的時候沒有做過多的鋪墊，沒有將信號的正交分解的理論和周期信號的級數分解這個具體的例子結合起來，初次接觸的學生會覺得很唐突。其實，這里只須做一個簡單的假設推導，即可引入這兩種級數分解的形式。

在這之前我們已經給出了信號的正交分解的概念，給出了完備正交基的相關概念和一些具體的完備正交基的例子；并且給出了這樣一個結論：給出一個信號f（t）n，給出一個正交函數集（？漬1（t），？漬2（t）…？漬n（t）…），可以用正交函數集的基函數的線性組合的形式來逼近信號f（t），即f（t）≈■cj？漬j（t），（n→∞）；如果正交函數集（？漬1（t），？漬2（t）…？漬n（t）…）是一個完備的正交函數集，那么f（t）=■cj？漬j（t），（n→∞）。而且我們也知道，三角函數集1，cos（？贅t）…cos（n？贅t），sin（？贅t）…sin（n？贅t）…是完備的正交函數集；虛指數函數集ejn？贅t，n∈Z也是完備的正交函數集。

通過前面的分析，我們有理由假設周期信號f（t）分別用三角函數集和虛指數函數集這兩種正交函數集的基函數的線性組合的形式來表示（見式（1）和式（2）），分解的系數先假設為■，an，bn和Fn。這樣的話，后續的問題只是求出各自的分解系數就可以了。如果通過這種分析，然后假設推導，最后求解的方式來給出傅立葉級數的分解形式，學生理解起來連貫性比較強。而且，有些前沿的信號分解的方式均是在該框架下完成的，比如小波分解和稀疏分解，其基函數空間分別由小波函數集和過完備函數集組成；分解的框架模式不變，只是分解的具體形式變化了，求取分解系數的方法變了；這樣的話，為后續的學習研究打下了一個良好的基礎。

二、問題引入法

在《信號與系統》課程中，在講解Laplace變換的定義的時候，如果直接給出其定義的表達式，學生會產生很多疑問：為什么要定義Laplace變換？Laplace變換與傅立葉變換有何區別？Laplace變換為什么還會存在一個收斂域的問題？這些問題的如果得不到很圓滿的解釋，學生理解起來會有很多盲點。我們可以從回答這些問題的角度來引入Laplace變換的定義。

首先，通過前面的傅立葉變換定義的學習，可以知道：①對于能量有限信號f（t），即滿足狄氏條件（■f（t）dt<∞），其傅立葉變換是存在的。②對于功率有限信號（其能量不能保證有限），其不能滿足狄氏條件（例如周期函數e■，指數函數eatU（t），a>0），其傅立葉變換從理論上來說是不存在的。但是，通過前面的學習可以知道，對于形如e■類的周期函數，其傅立葉變換可以利用奇異函數來表示；對于形如eatU（t），a>0的指數函數，其傅立葉變換還沒有辦法表示。因此，可以給出結論：為了表示形如eatU（t），a>0的指數函數的頻譜特性，我們引入Laplace變換。

其次，Laplace變換是建立在傅立葉變換的基礎之上的。對于式（3），

f（t）=eatU（t），a>0 （3）

由于t→∞時，f（t）→∞，其不滿足狄氏條件，其傅立葉變換不存在，只有想辦法將其變為衰減信號，其傅立葉變換才存在。由于f（t）是指數增長信號，采用的方法是乘以一個衰減速率比原信號增長速率更快的信號，使得到的信號變為衰減信號。我們可以將指數增長的信號f（t）=eatU（t），a>0乘以衰減因子e-？滓t，當？滓>a時，eatU（t）e-？滓t就成為指數衰減信號，其傅立葉變換存在，即

FTf（t）e-？滓t=■f（t）e-？滓te-jwtdt=■f（t）e- （？滓+jw）tdt （4）

令S=？滓+jw，則上式可寫為：FTf（t）e-？滓t=■f（t）e-stdt （5）

可見，利用衰減因子e-？滓t乘以信號f（t），根據信號的不同特征，選擇合適的？滓值，使乘積信號f（t）e-？滓t滿足狄氏條件，從而其傅立葉變換存在，引出Laplace變換：

F（s）=■f（t）e-stdt （6）

通過上面的講解，學生可以很容易的理解從Fourier變換到Laplace變換的過渡，弄清兩者之間的關系。

最后，Laplace變換的收斂域，也是為了讓f（t）e-？滓t滿足狄氏條件，即■f（t）·e-？滓t→0。對于形如eatU（t），a>0的指數信號，前面的推導過程已給出：？滓>a，這個條件必須要滿足。而S=？滓+jw，因此Res[s]>a。由此，收斂域的理解也徹底了。

通過這種一步一步回答學生提出的問題的方式來引入Laplace變換的定義，既能解答學生的疑惑，又能將定義的內涵和外延講解得很清楚。

三、比較總結引入法

在《數字信號處理》課程中，離散傅立葉變換（DFT）的定義引入，一般也是直接給出其定義式；這樣的話學生可能會“囫圇吞棗”的把這個定義背誦下來。但是，對該定義的意義（即為什么要定義DFT）以及與其他類型的傅立葉變換的區別，就無從深入的理解。這種情況下，我們可以通過對以前已經學習過的非周期連續信號、周期連續信號、非周期離散信號、周期離散信號等各種類型的傅立葉變換的定義進行歸納總結、對比分析（見表1）；在此基礎上引入DFT的定義。

1.四種不同形式的傅立葉變換。表1列出了4種不同特點的信號的時間函數和頻率函數的波形對應關系，以及時域頻域的變換形式。

對于非周期的連續時間函數xa（t）（長為Tp）（為了便于分析，我們一般假設xa（t）是一個時間上有限長頻率上帶限的信號），其傅立葉變換Xa（j？贅）在頻區上也是連續的。其時間函數和頻率函數的形式如表1中的第1種情況所示。

對于周期連續函數■a（t）：由于周期信號一般不能滿足狄氏條件，周期信號的傅立葉變換一般用沖激函數表示。一般先將■a（t）展開成傅立葉級數的形式：■a（t）=■Ane■，其中？贅s=■（Tp為周期信號的周期），表示基波頻率。進一步地，我們可以求出■a（t）的傅立葉變換的表達式 FT（■a（t））=2π■An？啄（？贅-？贅s）；可見，我們完全可用An代表■a（t）的傅立葉變換的幅度。最后，我們可以推導出An與Xa（j？贅）之間的關系：An=■Xa（j？贅）|？贅=n？贅s。通過上面的分析可以看出，周期連續信號■a（t）的頻譜An是非周期連續信號xa（t）的頻譜Xa（j？贅）的采樣；或者說，一個有限長帶限信號（非周期的），在時域里經過周期延拓后，得到的周期函數的頻譜是非周期函數的頻譜的離散化。

對于非周期離散信號x（n）：它是由原始信號xa（t）經過采樣得到采樣信號■a（t），再對■a（t）在時間軸上經過處理得到的。因此，x（n）在幅度上完全等價于■a（t）；進一步地， x（n）的頻譜與■a（t）的頻譜在廣義上應該是等價的。從表1中的第三種情況可以看出，非周期離散信號x（n）的頻譜是原始模擬信號xa（t）的頻譜的周期延拓。

通過對表1的第二種情況和第三種情況的分析，我們可以得出這樣的結論：時域的周期延拓對應于頻域的離散化；時域的離散化對應于頻率的周期延拓。有了這個結論，對于表1的第四種情況，我們以第二種情況或第三種情況為參考，均可得到相應的結論。我們也可以經過推導得到 ■（K）與X（ejw）與之間的關系：■（K）=X（ejw）|■。

2.離散傅立葉變換定義的引入。我們已做過定義的四種傅立葉變換均不能滿足輸入為有限長序列，輸出亦為有限長序列的需求。為了解決利用計算機進行傅立葉變換的計算問題，我們必須要引入輸入、輸出均為有限長序列的離散傅立葉變換（簡稱為DFT）。但是DFT也不是憑空出來的一個定義，它與前面四種信號的傅立葉變換是有聯系的。由于■（n）？圮■（K）變換對的時域和頻域均為周期信號，而且周期信號所包含的信息可以用其一個周期的波形來完全表達；所以，我們有理由將周期離散信號■（n）的一個周期作為DFT的時域輸入，將■（n）的頻域■（K）的一個周期作為DFT的頻率輸出；這樣既能保證DFT的輸入、輸出均為有限長序列，又能保證DFT定義的時、頻域可以完全代表■（n）？圮■（K）的時、頻域的信息量。我們可以在離散周期信號的傅立葉變換的基礎上推導出DFT的定義。我們可以用■（n）RN（n）表示■（n）的一個周期，記為x（n）；用■（K）RN（n）表示■（K）的一個周期，記為X（K）；假設■（n）、■（K）的周期均為N；而且■（n）？圮■（K）為傅立葉級數（簡稱為DFS變換對）；我們記X（K）=DFT[x（n）]，下面簡單推導一下DFT的計算定義式，

X（K）=DFT[x（n）]=■（K）·RN（K）=DFS[■（n）]·RN（K）

=■■（n）·e■·RN（K）（-∞

=■■（n）·e■ （0≤k≤N-1） （7）

=■x（n）·e■

本文以信號處理類課程教學中“概念的引入”為切入點，將信號處理類課程中的理論推導和實踐理解結合起來，取得了不錯的效果。

參考文獻：

[1]龔英姬.引導教學法在《信號與系統》教學中的應用[J].河池學院學報，2009，（20）：110-112.

[2]王霞，姚遠.“信號與系統”教學中工程實踐能力的培養[J].電氣電子教學學報，2012，（34）：13-15.