多面體外接球問題的變式探究

摘要：立體幾何是培養(yǎng)空間想象能力很好的素材，多面體的外接球問題是有關(guān)球的問題的基本題型之一，它能全方位、多角度、深層次考查空間想象能力。這類問題由于不易畫圖而變得抽象難解，解決此類問題常有兩種策略：一是通過“截面”把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題，二是構(gòu)造典型的幾何體模型。

關(guān)鍵詞：立體幾何；空間想象能力；轉(zhuǎn)化；構(gòu)造

中圖分類號(hào)：G632.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2013）17-0112-02

【例題】一個(gè)正四面體的所有棱長都為a，四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，求此球的表面積.

分析：求解球的表面積或體積關(guān)鍵就是解決球的半徑R.

解法一：設(shè)AO1是正四面體ABCD的高，則它的外接球的球心就在AO1上，設(shè)其為O，則OA=OD=R，易知O1D=■a ，AO1=■a，在Rt△OO1D中，∵OO12+O1D2=O1D2，∴（■a-R）2+（■a）2=R2，∴R=■a，∴外接球的表面積S=4πR2=■πa2.

解法二：如圖，構(gòu)造正方體，所以正方體的棱長為■a，正方體的對(duì)角線為外接球的直徑，其長度為■a，所以R=■a，所以外接球的表面積S=4πR2■πa2.

注：法一是利用空間幾何體的對(duì)稱性判斷球心的位置，通常過多面體的一條側(cè)棱和球心、接點(diǎn)做出截面圖，通過“截面”把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題，可用球的截面性質(zhì)，借助題設(shè)給定的等量關(guān)系，解直角三角形求得半徑，體現(xiàn)了解決立體幾何問題最重要的思想—轉(zhuǎn)化，類似于這樣的幾何體，如：正三棱錐、正三棱柱、正四棱錐等都可以采用這種方法；法二是根據(jù)已知幾何體的特殊性，構(gòu)造典型的幾何體模型，如正方體等。

[變式1]設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長都為a ，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為_______.

分析：根據(jù)已知條件可知此三棱柱為正三棱柱，再由空間幾何體的對(duì)稱性，外接球的球心位于上下底面的中心連線的中點(diǎn)，所以在Rt△OO1A中，由勾股定理得OO12+O1A2=OA2，易知OO1=■，O1A=■a，所以O(shè)A2=■，即R2=■，所以S球=4πR2=■.

[變式2]已知P、A、B、C是球O面上的四點(diǎn)，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=1，求球的體積與表面積。

分析：PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=1符合正方體的特點(diǎn)，所以構(gòu)造正方體。正方體的棱長為1，所以對(duì)角線長為■，所以半徑R=■，所以外接球的體積V=■=πR3=■π，表面積為S=4πR2=3π.

[變式3]已知S、A、B、C是球O表面上的點(diǎn)，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=■，求球O的表面積.

分析：由SA⊥平面ABC，得SA⊥AB，SA⊥BC，又AB⊥BC，SA=AB=1，BC=■，所以補(bǔ)成長方體，對(duì)角線SC=2，所以外接球半徑R=1，所以球O的表面積S=4πR2=4π.

[變式4]一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖是腰長為1的兩個(gè)全等的等腰直角三角形，則該幾何體的外接球的表面積為（ ）

A.12π B.4？搖■π C.3π ？搖？搖D.12■π？搖？搖

分析：由三視圖可判斷該幾何體是有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐。如圖四棱錐A—BCDE，可將其還原成一個(gè)正方體，則四棱錐的外接球即為正方體的外接球，球的直徑為AC=■，則外接球的面積S=3π，選C.

[變式5]直三棱柱ABC-A1B1C1各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，求此球的表面積.

分析：由已知條件，可補(bǔ)成一個(gè)正六棱柱，正六棱柱最長的對(duì)角線為外接球的直徑，易得直徑為2■，所以半徑R=■，所以外接球的面積S=4πR2=20π.

以上是對(duì)多面體外接球問題的幾種變式探究，如果一個(gè)幾何體的所有頂點(diǎn)都在另一個(gè)幾何體的表面上稱這兩個(gè)幾何體相接，明確接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并做出合適的截面圖，截面能夠暴露出球與其他多面體間的相互位置關(guān)系，使空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題求解。若球與柱、錐等的組合體中，當(dāng)柱或錐具有特定形狀時(shí)，將其補(bǔ)成正方體或長方體，對(duì)于計(jì)算球與柱或錐的相關(guān)量有很好的“平臺(tái)”作用，這種構(gòu)造典型幾何體模型的思想在解決其他立體幾何問題時(shí)也具有很好的優(yōu)越性，應(yīng)當(dāng)注意這類問題的應(yīng)用。

從這幾年的高考試卷上看，對(duì)空間想象能力的考查，一般是集中體現(xiàn)在立體幾何試題上的，對(duì)球與多面體的考題，一般以基礎(chǔ)題為主.解決這類題目，需要掌握相關(guān)的截面圖和結(jié)論.事實(shí)上，球與多面體之間還有相切的問題，希望在以后的教學(xué)過程中不斷探究和總結(jié)。

參考文獻(xiàn)：

[1]教育部2003《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)稿）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社.

[2]試題調(diào)研[M].烏魯木齊：新疆青少年出版社，2012.