高等數學中常用的不等式證明方法

摘要：本文介紹了高等數學中常用的不等式證明方法，并分析了這些方法的應用規律和技巧，以幫助剛進入大學的同學們快速掌握高等數學中的不等式證明方法。

關鍵詞：不等式；導數；定積分；證明

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）17-0110-02

不等式證明是高等數學中常見的題型，證明方法靈活多樣，具有較強的技巧性和綜合性。同時由于知識結構不同，高等數學中不等式證明方法和高中時應用的證明方法也有所不同。下面我們介紹高等數學中常用的幾種不等式證明方法，以幫助剛踏入大學的同學轉變證明思路，快速掌握高等數學中的不等式證明方法。

一、利用導數知識證明不等式

（一）利用函數單調性

此方法關鍵是根據題設條件構造合理的輔助函數，將不等式證明轉化為比較兩個函數值的大小。

例1？搖 證明不等式ex>1+x，x≠0

證明：設f（x）=ex-1-x，則f'（x）=ex-1.故當x>0時，f'（x）>0，f（x）嚴格遞增；當x<0，f'（x）<0，f（x）嚴格遞減.又因為在x=0處連續，則當x≠0時，f（x）>f（0）=0從而得到ex>1+x，x≠0

（二）利用函數的極值和最值

當給定的不等式是具體的函數，且又給出自變量的變化范圍，欲證明它大于或是小于某個定數，這時往往利用函數的極值和最值來證明不等式。

例2 當x≥0時，證明nxn-1-（n-1）xn-1≤0（n>0，n∈N）.

證明：令f（x）=nxn-1-（n-1）xn-1，則f'（x）=n（n-1）xn-2-n（n-1）xn-1=n（n-1）xn-2（1-x）.令f'（x）=0，得駐點x=1（因為x=0 是x≥0的端點，所以x=0不是駐點）且當x<1時，f'（x）>0；當x>1時，f'（x）<0，所以f（1）=0是極大值也是最大值.從而得f（x）≤f（1）=0（x≥0），即nxn-1-（n-1）xn-1≤0（x≥0）。

（三）利用函數的凹凸性

當所求證的不等式中出現了形如f■，■的式子時，我們可以考慮根據函數凹凸性的一些性質來證明。

例3 己知：α<0，β<0，α3+β3≤2求證：α+β≤2。

證明：設函數f（x）=x3，x∈（0，+∞），則f'（x）=3x2。f''（x）=6x>0.由引理可知：函數f（x）=x3，x∈（0，+∞）是凹函數。設a1=a2=■，x1=α，x2=β，則f（a1x1+a2x2）=f（■α+■β）=f■≤a1f（x1）+a2f（x2）=■，而f■=■■，且由已知得到■=■≤1，所以■=f■≤■≤1.故有α+β≤2.

（四）利用微分中值定理

微分中值定理將函數與導數有機地聯系起來，如果所求證不等式經過簡單變形后，與微分中值公式的結構有相似性，就可以考慮利用微分中值定理來證明，其關鍵是構造一個輔助函數，然后通過微分中值定理的公式證明。

微分中值定理包括費馬引理，羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理等。其中比較重要的是羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。

例4 證明：對一切h>-1，h≠0成立不等式■

證明：設f（x）=ln（1+x），則由微分中值定理得到ln（1+h）=ln（1+h）-ln1=■，0<θ<1.

當h>0時，由0<θ<1可推知1<1+θh<1+h，■<■1+θh>1+h>0，即■<■

（五）利用泰勒公式

當所涉及命題中出現二階或更高階導數時，我們可以考慮使用泰勒公式證明，其關鍵是選擇恰當的特殊點展開。

例5 設f（x）在[0，1]上的二階導數連續，f（0）=f（1）=0，并且當x∈（0，1）時，f''（x）≤A.求證：f''（x）≤■，x∈（0，1）.

證明：因為f（x）在[0，1]上有二階連續導數，所以f（x） 可以展開為一階泰勒公式f（x）=f（x0）+f'（x0）（x-x0）+f''（ξ）■，其中ξ在x與x0之間.

取x=0，x0=x，則泰勒公式為：，f（0）=f（x）+f'（x）（0-x）+f''（ξ）■，其中0<ξ

因為f（1）=f（0）=0，上面兩式相減得f'（x）=f（1）-f（0）+■f''（ξ1）x2-f''（ξ2）（1-x）2，又f（x）≤A，x∈（0，1），所以f'（x）≤■[x2+（1-x）2]=■（2x2-2x+1），而0≤x≤1，（2x2-2x+1）≤1，故f''（x）≤■.

二、定積分不等式的證明方法

（一）利用定積分的性質

性質：設函數f（x）和g（x）在區間[a，b]可積，且f（x）≤g（x），則■f（x）dx≤■g（x）dx.

例6 設f（x）在區間[0，1]上連續且單調減少，試證：對任何a∈（0，1），有■f（x）dx≥a■f（x）dx.

證明：構造變上限的積分函數，令F（t）=■f（x）dx-t■f（x）dx，t∈（0，1），則有F（0）=0，且由上式可以看出t≥x≥0，所以f（t）≤f（x），故有定積分的性質得到F'（t）=f（t）-■f（x）dx=■f（t）dx-■f（x）dx=■[f（t）-f（x）]dx≤0.

因此由拉格朗日中值定理得到F（a）-F（0）=F'（ξ）a≤0，ξ∈（0，a），即F（a）≤0，原式得證。

（二）利用積分中值定理

積分中值定理：設函數f（x）在[a，b]連續，則至少存在一點ξ∈（a，b），使得■f（x）dx=f（ξ）（b-a）。

例7 設f（x）≥0在[0，1]上連續，且單調下降，0<α<β<1，求證■f（x）dx≥■■f（x）dx。

證明：因為f（x）在[0，1]上連續，則由積分中值定理知 ？堝ξ∈[0，α]，使得■f（x）dx=αf（ξ），？堝η∈[α，β]，使得■f（x）dx=（β-α）f（η）.又f（x）在[0，1]單調下降，ξ<η，故f（ξ）≥f（η），從而有■■f（x）dx≥■■f（x）dx，又因為α>0，所以■f（x）dx≥■■f（x）dx≥■■f（x）dx.

不等式的證明方法靈活多樣， 又有一定的技巧性，難以掌握。關鍵是要根據不等式的特點，找到合適的證明方法。