關于高等數學課程教學方法的探討

摘要：高等數學是大學數學的一門重要的基礎課，其教學質量對學生素質的培養、能力的提高起著重要的作用。介紹了高等數學課程教學中主要使用的講授法和發現式教學法，并結合多年的教學實踐，具體說明了在教學中如何結合教學內容，改革教學方法，加強數學思想教育，提高學生的創新能力。

關鍵詞：高等數學；教學方法；數學建模；教學改革

中圖分類號：G42 ？搖文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）41-0069-03

在我國工科院校多數專業中，高等數學課程是大學生在校期間課時較多，接觸時間較早，內容比較經典、豐富的重要基礎課。它既是各專業后繼課程的基礎，也是培養各類人才所必備的數學素質、提高學生解決實際問題能力的需要。當代著名數學家理查德·柯朗曾指出：“微積分，或者數學分析，是人類思維的偉大成就之一。它處于自然科學與人文科學之間的地位，使它成為高等教育的一種特別有效的工具。遺憾的是，微積分的教學方法有時流于機械，不能體現出這門學科乃是一種憾人心靈的智力奮斗的結晶”。高等數學的研究對象是變量，邏輯性和抽象性比初等數學更強，要使大學生更快地適應從中學到大學的學習方法轉變，要求教師必須針對不同的問題采用不同的教學方法和手段。盡管高等數學的教學方法多種多樣，但不管采取何種方法，都應對不同的教學內容有不同的側重，都必須將是否有利于學生創新能力的提高作為基本出發點。現代數學教學方法很多，如啟發式問題教學法、引導探索式教學法、研究式教學法、自學輔導式教學法等。

一、講授法與發現式教學法

高等數學往往采用大班（合班）授課方式，學生人數多、授課內容多、學時數有限。課程教學既要滿足不同專業后繼課程的需求，也要在教學中逐步培養學生的創新能力。目前高等數學課程教學中主要采用講授法和發現式教學法。

1.講授法。講授法是指教師直接講解，通過簡明、生動的口頭語言，向學生系統地傳授知識、發展學生智力的方法[1，2]。它是教師使用最早的、應用最廣泛的教學方法。其他教學方法的運用，幾乎都需要同講授法結合進行。在大學數學教學中，講授法主要表現為講述和講解。講述主要是指描述和解釋一些數學概念、公式和定理，講解主要是針對數學公式、定理的推導和論證以及數學問題的計算或證明。作為公共基礎課程的高等數學，微積分是主要的教學內容。對大一學生來說，連續性、可導性、可積性的內容抽象而復雜。因此在高等數學課程教學中可采用講授法。講授法并非是“注入式”、“滿堂灌”的教學方法，其優點主要表現在：第一，課堂效率比較高，能在很短的時間內有計劃、有目的地借助于各種教學手段，使學生較多地、經濟地獲得大量的知識。第二，有利于發揮教師在教學中的主導作用，便于教學過程的控制，能在規定的時間內完成相應的教學任務。講授法的缺點在于它是一種單向的信息傳輸方式，過多的使用容易造成學生思維的遲緩和學習的被動，不利于發揮學生的主體作用，不利于學生自學能力的培養。所以在教學中應處理好教師的主導作用和學生的主體作用，把握好課堂教學的節奏，注意因材施教，調動學生的學習積極性，避免學生被動地接受知識，在課堂上忙著做筆記或無所事事。

2.發現式教學法。發現式教學法（或問題教學法）是由美國著名心理學家布魯納于20世紀50年代首先倡導的。他認為：“提出一個學科的基本結構時，可以保留一些令人興奮的部分，引導學生自己去發現它……”；“學生通過發現來掌握學科基本結構，易理解、記憶，便于知識的遷移，能力的發展……”。因此，發現式教學法就是在教學過程中，以所講授內容的發現動機和進程為主線，通過合理的分析、切近的設問，使發現的本源顯露出來。這樣，學生便能明了一切，仿佛這些知識就是自己發現的一樣。發現式教學法是數學課實現素質教育的一種有效的教學模式[3]。從本質上講，發現式教學應屬于啟發式教學的范疇，在教學中易于創造輕松、活躍的課堂氣氛，激發學生對所學課程的興趣、熱愛和信心。我們知道，微積分的一些原始的思想可以追溯到很遠。例如，公元3世紀誕生的劉徽的“割圓術”就孕育著一些樸素的微積分的思想。在17世紀后半葉，牛頓和萊布尼茲分別獨立地創立了微積分，這是科學史上劃時代的事件，后來形成的極限理論和實數理論進一步奠定了微積分和數學分析的基礎，成為今天高等數學課程的主要內容。在高等數學的教學中，發現式教學就是引領著學生，不斷地感悟前輩數學家在這些問題上的思想來源、思考軌跡、處理方法，不斷地進行著數學應該怎樣思考、怎樣發現、怎樣猜想、怎樣證明的訓練。其核心就是揭示數學家思維的軌跡，揭示數學發現的本源，所以其教學本質就是一個啟發學生思維合理流動的過程。

二、結合教學內容，改革教學方法

傳統教學方法過分強調教的一面而忽視學的一面；過分重視知識的傳授而忽視能力的培養；過分強調教師講，忽視學生學；過分重視學生認知，忽視學生的非認知；過分強調統一要求，忽視學生的個性發展。這些弊端在現代數學教育的發展中，暴露得越來越明顯了。簡單的一句“啟發式教學”雖為大家所認同，但操作起來有難度。素質教育與傳統教育的根本區別在于它認為思維和能力比知識更重要，在于它把學生的能力、思維的培養，尤其是學生的開拓能力、創新能力的培養放在首位。我們現行的高等數學的教學內容[4]，可以說每一個命題、每一個定理、每一個證明都是眾多前輩數學家最閃光智慧的結晶，都是創造性思想、創造性方法最成功的范例。

1.講授法與發現式教學法側重概念性、理論性內容。高等數學中的許多重要概念，如極限、導數、微分、定積分等都是從一些不同科學領域中的實際問題經過高度抽象而得到的，它們都是前人開創性工作的結晶，其形成過程本身就是一個個充分體現創新思維的全過程。但教材上編寫的內容主要關心的是邏輯性和可信性，而對發現的思維活動過程則往往忽略不提或難以言表。因此，學生看不到鮮活的、原創的思想脈絡，只能看到經過簡化整理的論證形態，其敘述順序與發現過程一般是相反的，這是造成初學者難以理解的重要原因。作為教師，不應只滿足于讓學生承認或接受書上的結果，而要盡量讓學生了解知識的來龍去脈，以至模擬知識的（重新）發現過程。為了在課堂上演繹這些概念的形成過程，引導學生積極思考，可在講授中采用發現式教學法，即教師在學生開始學習新知識時，只給他一些事例或問題，讓學生通過思考，自行發現并掌握相應的概念和原理。將講授法和發現式教學法結合，有利于講授高等數學中的概念和定理。高等數學課程中的許多定義、定理都來自于實際問題，數學概念的引入來自于解決一些幾何、物理問題。在遵從發現進程這條主線的講授過程中，教師是否善于啟發學生自己發現是教學能否成功的一個關鍵所在。在高等數學教學中采用發現式教學方法要求教師在教學準備中要吃透教材內容，熟悉本課程發展史，以及各知識點聯系等，要求對定理或命題有很深刻的認識，要能洞穿其本質和核心，同時要有較強的賦予講授內容邏輯框架的能力。認識到發現式教學的難點是要明晰發現的本源，在教學中教師要特別重視對學生思維的循序善誘，尤其要重視分析和設問這兩個重要環節，掌握分析和設問的技巧，注重學生主體作用的發揮。另外。由于發現式教學是以引導學生自我發現知識的本源為根本的一種教學模式，在教學中不應提出過深的問題，否則會增加學生的壓力，造成學生思維上的疲勞。例如在導數概念的教學中，教師應把重點放在如何從曲線的斜率（幾何問題）和由作變速直線運動質點的位移求瞬時速度（物理問題），應用極限思想，引導學生深入分析其實質，通過抽象、歸納，得到導數的定義，從而使他們親自體驗概念產生的創新思維全過程，順理成章地重新“發現”這些重要概念。又如對于Lagrange微分中值定理的證明，可通過倒推發現的辦法進行探索分析，構造出滿足羅爾中值定理條件的輔助函數。

2.講練結合的教學方式側重應用性內容。知識是培養能力的基礎，但掌握了知識并不等于就有了解決實際問題的能力。知識要轉化為能力，一靠思索，二靠實踐。長期的教學實踐告訴我們，要真正從以傳授知識為主的模式轉變為以培養能力為主的模式是很困難的，需要我們花大力氣，一步一步地實踐下去。高等數學作為大一學生的公共基礎課程，是受眾廣、課時長的課程，對學生數學修養的培養和后繼課程的學習都起著重要的作用。高等數學課程的應用性內容，主要是使學生加深對數學思想、方法的領會，提高計算能力和邏輯推理能力。因此不僅需要教師的講授和指導，而且還應要求學生的參與，通過思考和做題，才能更深刻的體會和熟練地掌握。例如高等數學課程中的計算題和應用題往往靈活多變，解法多樣，對每個學生而言，由于受到觀察問題的視角以及自身相關知識的局限，往往會受到某種思維定式的影響，只能找到某一種解決方法，有時甚至找不到思路。如果教師能提出問題，組織學生進行討論，啟發大家的智慧，就可從多角度、多途徑尋找解決問題的方法。積分的計算技巧性較高，僅靠在課堂上的例題講解，沒有一定量的自我訓練，要使學生掌握好積分方法是困難的。因此要通過一定的方式，鼓勵學生自己多思考、多練習和總結，引導學生“一題多解、一題多變”，達到活躍思維，提高創新能力的目的。例如在講解完不定積分的換元法和分部積分法后，可以讓學生自己用5種以上的方法計算不定積分∫■dx等。又如在中值定理應用中，輔助函數的構造是一個難點，往往要采用逆向思維，從結論入手。下面以教材中的一個例題來說明[5]。設函數f（x）在[0，1]上連續，在（0，1）內可導，且f（1）=0，證明至少存在一點c∈（0，1），使得f'（c）=-■。通過分析，由于c≠0，要證明結論處理，只要證明cf'（c）+f（c）=0就行了。而左邊恰是函數xf（x）在x=c處的導數，從而不難引導學生構造出滿足洛爾定理的輔助函數F1（x）=xf（x），使問題得到證明。但如果該例題就照教材講到此，學生感覺有些照本宣科。為了啟發學生，可提出下面的問題：本題的結論有什么特點呢？進一步引導學生重新構造一個輔助函數F2（x）=x2f（x），則在相同的條件下又至少存在一點c2∈（0，1），使得f'（c2）=-■。如此往下推，學生能自然地通過構造輔助函數Fn（x）=xnf（x），得到至少存在一點cn∈（0，1），使得f'（cn）=-■，其中n=1，2，…。換句話說，學生通過這樣的引導，既了解輔助函數的構造方法，又領略了“在區間（0，1），至少有可列個點，使得可列個等式f'（cn）=-■成立”的數學奇異美。

3.融入數學文化，激發學習興趣。數學教育對幾乎所有專業大學生的培養都起著舉足輕重的作用。其教育質量關系整個大學的教育質量。但是，大學生能否學好數學，歸根結底取決于他們學習數學的積極性與熱情，這種積極性與熱情是建立在對數學的真正了解基礎之上的，興趣是學習最有效的動力。應該看到，理工科院校各專業大部分學生從中學到大學，都是喜愛數學課程的。曾有學生問道，如何才能學好高等數學？這個問題很難簡單回答好。學生從中學到大學，由于教學內容、教學要求等客觀條件發生了變化，教師的教學方法與他們以前上課時的差別很大，尤其是不少學生感覺老師講的例題數量、同類型題目的變形、課后習題的處理等，與中學相比減少了許多，而新的知識點、新課內容不斷出現，頗有些應接不暇。要是在教學中不強調課前的預習、不督促學生多閱讀教材和適當閱讀些參考書、不加強師生間的交流，了解學生的學習情況，片面強調講授法、發現式教學法的作用，就會使部分同學跟不上課程教學的進度，甚至極少數學生出現畏難情緒，失去對高等數學課程學習的興趣，影響教學效果。在數學教學中可通過滲透數學文化的思想來激發學生的學習興趣。教師要有意識地根據教學內容，進行數學文化教育，將數學文化融入教學中，融入數學知識的學習中，讓學生時刻感受到數學思維、數學抽象、數學應用、數學美學的力量，感受到數學就在我們身邊。高等數學課程中涉及到不少的數學大師，例如牛頓和萊布尼茲外，還有黎曼、柯西、拉格朗日、高斯等。在教學中，可結合教學內容，適當介紹數學史，使學生了解前輩數學家的思考軌跡，激發學生的學習積極性。又如我們在講到級數收斂的阿貝爾（Abel）定理時，引申到阿貝爾積分、阿貝爾群，并介紹了阿貝爾的生平，不僅使學生了解到僅僅27歲的阿貝爾的數學才華，而且對于鼓勵學生努力學習，不斷創新也起到了積極作用。再如在極限概念的教學中，可以先通過介紹第二次數學危機，再引出德國數學家魏爾斯特拉斯創造的“ε-δ”精確語言，給出極限的準確描述，幫助學生理解語言中的二重性和的存在性等。

4.融入數學建模思想與方法，提高“用數學”能力。數學語言和符號表示為科學研究提供簡潔精確的形式化語言。每一種數學方法都是數學家通過把數學或其他學科的具體問題抽象概括為“純粹”的數學語言和符號，借助已知的數學知識和方法進行分析、運算和推導，獲得重要的啟迪和認識，然后再將這些結果返回到相關問題中去。這一過程就是獲得數學模型的過程，也就是大家所說的數學建模。因此在高等數學課程教學中應綜合使用教學方法，融入數學建模的思想[6]。歐拉說：“一個科學家如果只是做出了給科學寶庫增加財富的發現，而不能坦率闡述那引導他做出發現的思想，那么他就沒有給科學做出足夠的工作”。雖然高等數學課程內容多、課時緊，應用問題數量、難度都相對有限，但教學實踐表明，教師完全可以立足課本內容，在教學中結合實際問題，引導學生積極自然順暢地分析思考，使學生參與問題轉化和解決的全過程，從而幫助學生理解概念、定義、定理，領悟數學建模思想，掌握分析解決問題的方法，體會數學與現實世界的緊密聯系及強大生命力，從而實現數學的教育教學目標。例如高等數學中最基本的內容——導數、定積分和二重積分等，就是把幾何學中平面曲線切線的斜率、曲邊梯形的面積、曲頂柱體的體積以及物理學中的變速直線運動的路程、變力所做的功、液體的靜壓力等具體問題，抽象概括為“純粹”的數學語言和符號，并通過對各種純粹的數學的量、量的關系、量的變化及在量之間進行的一系列推導和演算，獲得一系列重要的結果。這種經過抽象與概括后的分析、推導所得的結果（即數學模型）適用于一切具有共同前提的所有問題。它不僅簡明扼要，而且表達內容準確深刻，是其他任何語言都無法比擬、無法取代的。在教學中，使學生深刻理解這一點，并學會把問題用數學語言和符號表達出來，然后再去求解，這一點既是學好數學的關鍵，也是運用好數學知識解決實際問題的前提。

高等數學的教學改革任重而道遠。激發學生的學習興趣應成為課堂教學中教師各項工作的出發點和歸宿點。我們在教學方法的整體結構上應強調學生學習的獨立性、研究性及教學方法的多樣性，主動將數學文化、數學建模方法融入到課程教學中，積極探索講練結合的教學模式，既傳授知識，又培養能力。

參考文獻：

[1]張愛華.高等教育學[M].石家莊：河北教育出版社，1997：189-199.

[2]黃燕蘋.論講授法在大學數學教學中的作用[C].大學數學課程報告論壇論文集[A].北京：高等教育出版社，2005：252-256.

[3]潘江敏.高校數學發現式教學方法探討[J].高等理科教育，2003：98-100.

[4]同濟大學數學系.高等數學（上、下冊）[M].第6版.北京：高等教育出版社，2007.

[5]王綿森，馬知恩.工科數學分析（上冊）[M].第2版.北京：高等教育出版社，2006.

[6]楊曙光，李治明.數學建模思想方法融入高等數學教學的思考與實踐[J].大學數學，2010，26（增刊1）：136-140.

基金項目：重慶市高等教育教學改革研究重點項目（1202033）；重慶郵電大學教育教學改革項目（XJG1103）

作者簡介：鄭繼明（1963-），男，教授，主要從事大學數學教學研究。