落實“三感”培養 提升“數感”認識

摘要：在數學課程中，數感作為重要的學習內容其意義和價值重大。數感是什么？一線教師們紛紛覺得抽象和模糊。本文基于對“數對象”的認識，從數形感、屬性感和數值感等角度對數感進行討論。結合對數的這“三感”的認識，進一步討論重視數感教學，提高教學有效性。

關鍵詞：數感；數值；屬性；新課程標準

中圖分類號：G633.6？搖 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）41-0089-02

近些年來，關于數感的話題被討論得如火如荼、沸沸揚揚。其中，一部分觀點提到了數感是一種重要的數學素養，是對數（或數字）的一種感覺，把數感與“語感”、“樂感”相提并論。更多的觀點主要強調應在情景創設中培養數感，動手做“數感”。《新課程標準（2011版）》明確規定“數感”主要是指關于數與數量、數量關系、運算結果估計等方面的感悟。建立數感有助于學生理解現實生活中數的意義，理解或表述具體情境中的數量關系。仔細剖析這段話，可以理解為“數感是關于…的感悟”，在規定中更多的是強調“建立數感有助于……”。這樣的規定，對于數感的定義實際上是很模糊的。在《數學課程標準（實驗稿）》中詳細的描述了“數感的主要表現：理解數的意義；能用多種方法來表示數；能在具體的情境中把握數的相對大小關系；能用數來表達和交流信息；能為解決問題而選擇適當的算法；能估算運算的結果，并對結果的合理性作出解釋。”這樣的描述表明數感是一個極其寬泛的概念。學者馬云鵬、史炳星認為：數感是人對數與運算的一般性理解。[1]參考諸多觀點和規定，教師們對于“數感”仍然覺得模糊和抽象。

撇開數感豐富的內涵，僅基于對“數”的認識，我覺得數感具有數形感、屬性感、數值感等多種特性。在實際教學工作中，重視對學生的數形感、數的屬性感、數值感的培養，應是培養數感的有效途徑。

一、重視數形感的培養，有效提高數感的辨識能力

提到數，當首先想到識別數符號。從早期算籌計數、楔形數字到現在的阿拉伯數，數的形成經歷了千百年的變化。數作為數學符號體系里的重要元素符號，其本質是一種人為的規定符號，以形的區分來區別不同的數。整數、小數、分數、無理數…，各具形態。在小學階段，正確識別數是培養數感的第一步，強化數的形象感尤其重要。

在教學中，常常發現學生對數的書寫馬馬虎虎，有大量出現書寫錯誤的現象。就0～9十個數字中，易出錯的如“0”、“5”、“6”、“8”、“9”等數的書寫。寫0不封口，寫5歪歪扭扭，明明是5，抄寫成3。比如：口算0.25×4和0.24×5，因數的混淆導致計算錯誤的情況也屢屢存在。又如：在學生的練習中，常常能發現這樣的錯誤：“0.7+1.2-0.7+1.2=0”、“■+■-■+■=0”、“0.5×8÷0.5×8=1”，作為教師都明白，學生把這類算式和“（0.7+1.2）-（0.7+1.2）=0”、“（■+■）-（■+■）=0”“（0.5×8）÷（0.5×8）=1”混淆，這種混淆更多的是因式子的形似所造成。同理，學生能熟練的計算“126×99+126×1=126×100”，但計算“126×99+126”的算式正確率就明顯偏低。從算式的意義和算理上講，兩者沒有太多差異，但在式子的形上，兩者差異甚大。造成正確率差異的原因既有學生對乘法分配律的掌握不夠到位有關，也與變式對學生造成的思維干擾有關。這其中固然有學習習慣、學習態度等非智力因素作祟，也與數形感意識薄弱有直接關系。又比如，在學習分數時，學生創造出來的分數有多種形式。如：把一個月餅平均分成兩份，其中一份是多少？不同的學生會創造出形如“■”、“2”等不同的數形。這充分說明：形之于數，是有其重要意義的。

畢德哥拉斯學派認為數不僅有量的多少，而且還有幾何形狀。如果能從識數初就能重視數形感的培養，在學習過程中強化學生對數形和式子結構形態的關注意識，無疑會對培養數的直覺、敏感及辨別能力有著重要作用。

二、重視數的屬性感培養，有效提高數感的敏感度

數具有屬性。自然數、整數、小數（無限小數、有限小數、循環小數、不循環小數、純小數、混小數、一位小數、兩位小數……）、奇數、偶數、質數、合數、互質數、因數、公因數、公倍數、有理數、無理數、完全平方數、補數……等等既是數概念，也是數的屬性。同理，把1、3、6……稱為三角形數；1、4、9……稱為正方形數也可以理解為數的屬性之一。小學階段，像2+8=10，40+60=100這樣湊十湊百的練習非常多，實際上2和8互為補數，40和60互為補數，互補也可以理解為數的屬性之一（學生能感受，不一定要求知道）。充分而準確地把握數的這些屬性，在計算中能幫助迅速作出判斷，選擇優化的計算方法進行計算，從而大大提高計算的有效性。

在習題中，常發現學生對于一些數的屬性區分不清楚導致錯誤。比如，（ ）是最小的一位數，（ ）是最小的自然數。學生需要清楚的知道1是最小的一位數，0是最小的自然數屬性才能正確解答。又如：一個數的百位是最大的一位數，十分位是最小的質數，其余數位沒有數，這個數是（ ）。學生需要清楚知道9是最大的一位數，最小的質數是2。又如：找出“2、5、7、9、11”中與眾不同的數。乍一看，似乎毫無規律，如果清楚質數和合數的概念，就明白9是合數因而與眾不同。又如，找規律填空：4、9、16、25、（ ）、49。如果學生清楚這些都是平方數，就能很快知道括號里應填36。

隨著知識的積累，對數的認識也在進一步擴充，如果能在教學中適時的對數的屬性進行整理鞏固，這將極大豐富和提高學生對數的本質和內涵的理解。比如，9的屬性包括“9是一位數，9是最大的一位數，9是單數，9是最大的陽數，9是合數，9是自然數，9是整數，9是正方形數，9是9的倍數，9是9的因數，9是3的倍數……。在分數乘法需要通分和約分時，或者在判斷四則運算進行簡便計算時，對數的屬性判斷準確快捷，無疑會迅速確定解答策略，從而提高計算的效率。

數的屬性感無疑是聯結數學問題與數學思維之間的一枚按鈕，對數屬性的敏感能迅速有效的連接對問題的直覺感知和學生的數學思維，從而有效培養學生的思維能力。在平常的教學中，如果重視數的屬性感培養，學生對于解答找規律、化簡、合并、分組計算、簡便計算等一系列題目時，就會得心應手，從而提高解答的效率。

三、豐富對數值感的認識，有效提高數感計算能力

從有、無到多、少，人類創造了數并規定它的值。所謂數值感，除了理解數表示的量的多少，還應包括對數的倍、和、差、區間、差補關系的認識，以及對數拆分（分解）、等值轉化的能力。學生在計算效率上表現出的差異，往往是其數值感的強弱的反映。

數的拆分是指形如9=4+5，9=3×3，9=10-1，9=45÷5等一類形式的數的分解。數的等值轉化是指形如■=■- ■、4×6=3×8、0.5=■=50%=■=0.500=1÷2=……等一類的轉化。既有數與數之間的等值判斷，也有數與式，式與式之間的等值變形。學生能熟練的對數進行拆分和等值變化無疑會對靈活解題提供幫助。如：計算25×88，學生的解答方法暴露學生對數值拆分和等值轉化的差異。學情1：豎式計算；學情2：25×88=25×80+25×8；學情3：25×88=25×90-25×2；學情4：25×88=25×100-25×12；學情6：25×88=25×8×11；學情7：25×88=25×4×22；學情8：25×88=（5×4）×（5×22）；學情9：25×88=20×88+5×88；學情10：25×88=25×2×44；……能否進行拆分數，能否結合算式特點進行靈活拆分是數感差異的直觀表現。

劉德武老師曾執教《9的認識》一課，其對9的數值感培養可謂用心良苦，貫穿始終。課堂教學中劉老師組織學生數9，數臺階，數門釘，數天心石，數九龍柏，再到祁年殿里找9，接著提問9是多少？9代表幾？18里有9嗎？72里有9嗎？在數門釘的環節里，學生提出橫著數、豎著數、斜著數、拐彎數，還有學生補充說按九宮格的規律數，極大的豐富了學生對9的數值的認識。在關于9的計算教學環節，當學生得出1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1和1+3+5+7+9+11

+13+15+17兩個算式時，劉老師又問“這些算式里有9嗎”？這無疑是一枚定時炸彈，把學生的思維引爆了。在接下來的計算中，湊九法出來了，根據補數關系分組求和也出來了，9的拆分出來了，倍數關系也出來了，連等差數列求和的方法也得了出來。老師用心良苦，巧妙設問，以體會與感受9的數值為教學核心，對9的多、少、倍、補數、拆分、等值轉化等一系列的數值感培養渾然天成。

數的數形感、屬性感、數值感是數感的三種特性。在教學中，注重對學生數形感、屬性感、數值感的培養，學生的運算能力及數學的思維能力將會得到極大的提高。明晰數感的這三種特性，對數的感覺才不會霧里看花、水中望月，教學也才會卓有成效。

參考文獻

[1]馬云鵬，史炳星.認識數感與發展數感[J].數學教育學報，2002，11（2）：46-49.