過定點的直線與雙曲線的公共點問題淺析

摘要：直線與雙曲線的公共點問題是直線與圓錐曲線公共點問題中相對比較復雜的，問題設置非常靈活，學生比較難理解和掌握這類問題。本文通過對一道典型例題分析，歸納出過定點的直線與雙曲線的公共點問題的本質，整理出這類問題的解決方法，一是代數方法，通過聯立直線和雙曲線方程，消元后，研究判別式的符號來研究公共點個數，該方法運算量大，學生不易掌握；另一種方法是幾何法，通過數形結合，利用直線與雙曲線相切和直線與雙曲線漸近線平行為臨界，通過旋轉直線可得結果。

關鍵詞：直線；雙曲線；公共點；直線與曲線相交

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）41-0095-02

在高中數學《圓錐曲線》一章中，經常遇到研究直線與圓錐曲線的公共點個數的問題，題目設置比較靈活，陷阱比較多，學生在處理這類問題時經常漏解，下面探討過定點的直線與雙曲線公共點問題的處理方法。

一、過定點的直線與雙曲線公共點問題的代數和幾何解法分析

引例、過點P（4，3）作與雙曲線■-■=1只有一個公共點的直線有（？搖？搖 ）A.1條？搖B.2條？搖C.3條？搖D.4條？搖（答案：B）對于直線與圓錐曲線的交點問題，常規處理方法不外乎是幾何法和代數法，幾何法就是數形結合，考慮兩種情況，一是直線與雙曲線相切，一是直線與雙曲線的漸近線平行，代數法是設出直線方程，與圓錐曲線聯立組成方程組，考慮解的個數，因此得到以下兩種解法：解法一：從雙曲線的圖像來分析，點P恰好在雙曲線的一條漸近線上，因此，當直線與雙曲線的漸近線平行時，只有一條直線符合要求，當直線與雙曲線相切時，也只有一條直線符合要求，即x=4。因此，符合要求的直線共有兩條。這種處理方法好處是直觀，通過作圖分析就可以得出結論，缺點是必須考慮該點所處的位置，位置不一樣得出的結果不同，這是學生比較難掌握的，也是在教學過程中普遍出現的問題。解法二：從方程組的解的個數上看，當直線斜率不存在時，直線方程為x=4，代入方程只有一解，符合要求，這也是直線與雙曲線相切時的情形。當直線斜率存在時，設直線方程為y-3=k（x-4），與雙曲線聯立組成方程組，化簡得（9-16k2）x2-32k（3-4k）x-16[（3-4k2）+9]=0，當9-16k2=0時，k=±■，當k=■時，方程無解，當k=-■時，方程有一解。當9-16k2≠0時，令Δ=b2-4ac=0，算得k=■，不合題意。綜上所述，符合要求的直線只有兩條。這種解法優點是思路非常直接，但解題過程并不能一帆風順，到處都有陷阱，這是代數法解決這類問題的缺點。

二、過定點的直線與雙曲線的公共點個數問題歸納

對于這類過定點P的直線與雙曲線的公共點的問題，由于P點位置不同，導致直線與雙曲線有唯一公共點的直線條數變化，歸納起來只有以下幾種情形，學生只要掌握分析的方法，應不難掌握。

1.點P恰好在雙曲線的漸近線上（雙曲線的中心除外），過點P作與雙曲線只有一個公共點的直線有兩條。這個結論就是引例的類型。

2.點P在雙曲線外，過點P作與雙曲線只有一個公共點的直線有四條。分別是兩條與雙曲線漸近線平行的直線，另兩條直線與雙曲線相切。

3.點P在雙曲線內，過點P作與雙曲線只有一個公共點的直線有兩條。由于點P在雙曲線內，不存在與雙曲線相切的直線，符合條件的直線只有兩條，這兩條直線與雙曲線的漸近線平行。

4.當點P在雙曲線上時，過點P作與雙曲線只有一個公共點的直線有三條。這三條直線中，有兩條與雙曲線的漸近線平行，另一條直線是雙曲線的切線。特別地，當P點在雙曲線的頂點時，過P且與雙曲線相切的直線是沒有斜率的，如果用解法二，通過運算的方法來解決這個問題時，特別要引起注意。

5.當P點是雙曲線的中心時，過點P作與雙曲線只有一個公共點的直線不存在。

三、過定點的直線與雙曲線公共點問題實例剖析

學生掌握了這五種情形后，就可以處理類似的問題。例題分析：若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6只有一個公共點，那么實數k的值是（ ）。A.■，1 B.±■ C.±1 D.±■，±1。解析一：將直線方程代入雙曲線方程消去y，得x2-（kx+2）2=6，即（1-k2）x2-4kx-10=0，對k≠±1，由判別式Δ=16k2+40（1-k2）=0，得k=±■；當k=±1時，方程 （1-k2）x2-4kx-10=0變化為一次方程，方程只有唯一的實根，因此直線和雙曲線只有一個公共點，故選D。解析二：由引例，直線y=kx+2必過定點P（0，2），P位于雙曲外線，過P且與雙曲線有唯一公共點的直線必有四條，即可選出答案D。例題變式1：若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的左右兩支各有個公共點，那么實數k的取值范圍是 ；解析：由x1x2=-■<0得-10得-■0且x1+x2=-■>0得k<1，又由Δ=16k2+40（1-k2）>0得-■0且x1+x2=■<0得k>1，又由Δ=16k2+40（1-k2）>0得-■■。

四、結論歸納

歸納一下，對以上四個變式練習，可以運用數形結合方法加以判斷，作出雙曲線圖像，過定點P（0，2）做出四條直線，分別是與雙曲線漸近線平行的兩條直線y=±x+2，與雙曲線相切的兩條直線y=±■x+2，y=kx+2表示過定點 P（0，2）的直線簇，可以看得出當傾斜角從0°變化到180°時，直線與雙曲線的公共點個數也在變化。當直線與雙曲線無公共點時，斜率范圍是k∈（-∞，-■）∪（■，+∞），當直線與雙曲線有一個公共點時，會出現兩種情況，一是相切，一是與漸近線平行，k值為±■和±1，當直線與雙曲線有兩個公共點時，直線斜率k∈（-■，-1）∪（-1，1）∪（1，■），這三個區間又分別表示這兩個交點分別位于雙曲線的右支，一左一右和同時在左支的情況。其實這個問題相當于四個實數±■和±1把數軸分成五個段（-∞，-■），（-■，-1），（-1，-1），（1，■），（■，+∞）每段分別表示直線y=kx+2與雙曲線的公共點分數分別為2個和0個的情況，而端點則表示直線與雙曲線有唯一一個公共點的情形。這恰恰體現了數學中數與形的緊密聯系。當P點位置變化時，有時會出現直線斜率不存在，而與雙曲線相切的情形，這時候特別要注意。比如：已知雙曲線x2-■=1，過點P（1，1）的直線與雙曲線只有一個公共點，則直線的斜率為____。此題中，過P與雙曲線有唯一公共點的直線有四條，而斜率k值只有三個，k=■或k=±2。

基于以上分析，對于過定點的直線與雙曲線公共點問題，只要抓住直線與雙曲線相切和直線與雙曲線的漸近線平行這兩個臨界點，利用數形結合的方法，可以快速判斷公共點個數，或者直線斜率的變化。

參考文獻：

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