有心圓錐曲線的第三定義及其在高考中的應用

摘要：本文給出了有心圓錐曲線的第三定義，并通過對第三定義的進一步研究得出一個與有心圓錐曲線中心弦有關的重要性質，利用第三定義及性質簡單、巧妙地解決了近年數學高考中較為復雜的解析幾何問題。

關鍵詞：有心圓錐曲線；第三定義；性質；應用

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）41-0096-03

通過對人教A版數學選修1-1及2-1的學習，我們已經熟知橢圓和雙曲線的第一定義和第二定義：

在此基礎上我們來探究有心圓錐曲線的第三定義。

1 第三定義的引出

人教A版數學選修1-1第36頁練習題4（改編）的問題如下：

點A，B的坐標分別是（-2，0），（2，0）直線AM，BM相交于點M，且直線AM的斜率與直線BM的積（或商）是-■（或■），求點M的軌跡方程。

設M（x，y）？圯kAM=■，kBM=■

解：由kAM×kBM=-■？圯■=-■？圯■+■=1（其中x≠2）

設M（x，y）？圯kAM=■，kBM=■

解：由kAM×kBM=■？圯■=■？圯■-■=1（其中x≠±2）

通過檢驗A，B兩點也滿足上述方程。

上述結果是形如■+■=1（或■-■=1）的圓錐曲線方程，通過比較我們還發現如下結論：

kAM×kBM=-■（或kAM×kBM=■）

下面我們來研究一般形式下是否有相同的結果。

2 第三定義的探究與總結

2.1橢圓的第三定義

設A（-a，0），B（a，b），點M（x，y）為平面上一動點，且滿足 kAM×kBM=-■（其中a>b>0），則點M的軌跡方程如下：

kAM=■，kBM=■

由？圯kAM×kBM=-■？圯■=-■？圯■+■=1（其中x≠±a）

通過檢驗A（-a，0），B（a，0）兩點也滿足上述方程.

反之，M（x，y）為橢圓■+■=1上任意不同于A（-a，0），B（a，0）的一點，有kAM=■，kBM=■？圯kAM×kBM=■

又∵■+■=1？圯y2=■（a2-x2）？圯kAM×kBM=-■

這時也成立。

進一步，通過探究發現當焦點在y軸上時，即A（0，-a），B（0，a）），結論同樣成立。

由此，我們歸納出結論：平面上任意一動點到兩定點的斜率之積為負常數（除-1外）的點的軌跡是橢圓（除兩定點）。在這里我們把它稱之為橢圓的第三定義。其中兩定點是橢圓長軸上的兩個端點，并且也滿足橢圓方程。

上述定義用數學語言表示如下：

（1）已知A（-a，0），B（a，0），若kAM×kBM=-■（a>b>0），則點M的軌跡方程為■+■=1.

（2）已知A（0，-a），B（0，a），若kAM×kBM=-■（a>b>0），則點M的軌跡方程為■+■=1.

特別地，當kAM×kBM=-1（即a=b），則點M的軌跡方程為 x2+y2=a2，是一個中心在原點，半徑為a的圓。

2.2雙曲線的第三定義

設A（-a，0），B（a，0），點M（x，y）為平面上一動點，且滿足kAM×kBM=■（其中a，b>0），則點M的軌跡方程如下：

kAM=■，kBM=■

由？圯kAM×kBM=■？圯■=■？圯■-■=1（其中x≠±a）

通過檢驗A（-a，0），B（a，0）兩點也滿足上述方程.

反之，M（x，y）為雙曲線■-■=1上任意不同于A（-a，0），B（a，0）的一點，有kAM=■，kBM=■？圯kAM×kBM=■

又∵■-■=1？圯y2=■（x2-a2）？圯kAM×kBM=■

這時也成立。

進一步，通過探究發現當焦點在y軸上時（即A（0，-a），B（0，a）），結論同樣成立。

由此，我們歸納出結論：平面上任意一動點到兩定點的斜率之積為正常數的點的軌跡是雙曲線（除兩定點）。在這里我們把它稱之為雙曲線的第三定義。其中兩定點是雙曲線實軸上的兩個端點，并且也滿足雙曲線方程。

上述定義用數學語言表示如下：

（1）已知A（-a，0），B（a，0），若kAM×kBM=■（a，b>0），則點M的軌跡方程為■-■=1.

（2）已知A（0，-a），B（0，a），若kAM×kBM=■（a，b>0），則點M的軌跡方程為■-■=1.

3 深入探究與推廣

根據上述有心圓錐曲線的第三定義，我們有以下結論：

（1）若M為■+■=1上任一點，A（-a，0），B（a，0），有kAM×kBM=-■，若M為■+■=1上任一點，A（0，-a），B（0，a），有kAM×kBM=-■.

（2）若M為■-■=1上任一點，A（-a，0），B（a，0），有kAM×kBM=■，若M為■-■=1上任一點，A（0，-a），B（0，a），有kAM×kBM=■.

其中|AB|為橢圓（雙曲線）的一條中心弦。

探究：若|AB|為任意一條中心弦，是否能得到相同的結論。

3.1橢圓的中心弦性質

設橢圓方程為■+■=1，|AB|為其任意一條中心弦， M（x，y）為橢圓上任意一點。

不妨設A（x0，y0），則B（-x0，-y0），有

kAM=■，kBM=■？圯kAM×kBM=■

又∵■+■=1■+■=1？圯y2-y02=-■（x2-x02）？圯kAM×kBM=-■

同理可得，當橢圓方程為■+■=1，|AB|為其任意一條中心弦，M（x，y）為橢圓上任意一點，有kAM×kBM=-■.

通過以上探究，可以得到橢圓的中心弦性質（直線AM，BM的斜率存在）：

（1）若M為橢圓■+■=1上任意一點，|AB|為其任意一條中心弦，則kAM×kBM=-■.

（2）若M為橢圓■+■=1上任意一點，|AB|為其任意一條中心弦，則kAM×kBM=-■.

3.2雙曲線的中心弦性質

設雙曲線方程為■-■=1，|AB|為其任意一條中心弦， M（x，y）為雙曲線上任意一點。

不妨設A（x0，y0），則B（-x0，-y0），有kAM=■，kBM=■？圯kAM×kBM=■

又∵■-■=1■-■=1？圯y2-y02=■（x2-x02）？圯kAM×kBM=■

同理可得，當雙曲線方程為■-■=1，|AB|為其任意一條中心弦，M（x，y）為橢圓上任意一點，有kAM×kBM=■.

通過以上探究，可以得到橢圓的中心弦性質（直線AM，BM的斜率存在）：

（1）若M為雙曲線■-■=1上任意一點，|AB|為其任意一條中心弦，則kAM×kBM=■.

（2）若M為雙曲線■-■=1上任意一點，|AB|為其任意一條中心弦，則kAM×kBM=■.

4 高考中的應用

4.1橢圓第三定義及性質的應用

例1：（2010年高考北京卷第19題）在平面直角坐標系 xOy中，點B與點A（-1，1）關于原點O對稱，P是動點，且直線 AP與BP的斜率之積等于-■.求動點P的軌跡方程.

解：由橢圓的第三定義及性質可以知道動點P的軌跡為橢圓，焦點在x軸上.

不妨設此橢圓方程為：■+■=1（x≠±1）

？圯-■=-■■+■=1？圯a2=4b2=■？圯即點P的軌跡方程為x2+3y2=4，（x≠±1）

例2：（2010年高考廣東卷第20題）已知雙曲線■-y2=1的左、右頂點分別為A1，A2，點P（x1，y1），Q（x1，-y1）是雙曲線上不同的兩個動點。求直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程.

解：∵A1（-■，0），A2（■，0）？圯k■=k■=■，k■=k■=■？圯k■×k■=-■，又∵■-y12=1？圯y12=■（x12-2）？圯k■×k■=-■.

所以點E的軌跡為焦點在x軸上的橢圓，不妨設其方程為■+■=1（x≠±■）？圯-■=-■a=■？圯a2=2b2=1？圯即點E的軌跡方程是■+y2=1，（x≠±■）

例3：（2011年高考江蘇卷第18題）如圖，在平面直角坐標系xoy中，M、N分別是橢圓■+■=1的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設直線PA的斜率為k.對任意k>0，求證：PA⊥PB.

證明：設A（x0，y0），則P（-x0，-y0），C（-x0，0）？圯kAP=■=k，kAB=kAC=■=■k，由kAB×kPB=

-■？圯kPB=-■？圯kAP×kPB=-1？圯PA⊥PB

4.2雙曲線第三定義及性質的應用

例4：（2011年高考江西卷第20題）p（x0，y0）（x0≠±a）是雙曲線E：■-■=1（a>0，b>0）上一點，M，N分別是雙曲線E的左右頂點，直線PM，PN的斜率之積為■.求雙曲線的離心率.

解：由雙曲線的第三定義得：■=■，所以e=■=■.

例5：（2010年高考山東卷第21題）如圖，已知橢圓■+■=1（a>b>0）的離心率為■，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F1，F2為頂點的三角形的周長為4（■+1）.一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D.設直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，證明k1·k2=1.

證明：因為雙曲線是等軸雙曲線，

不妨設其方程為：■-■=1，由雙曲線的第三定義得：k1·k2=■=1

例6：（2011年高考湖北卷第20題）平面內與兩定點A1（-a，0），A2（a，0）（a>0）連線的斜率之積等于非零常數m的點的軌跡，加上A1、A2兩點所成的曲線C可以是圓、橢圓成雙曲線.求曲線C的方程，并討論C的形狀與m值得關系.

解：由定義得曲線C的方程：■-■=1.

當m=-1時，方程為x2+y2+a2，是圓心在原點，半徑為a的圓.

當m>0時，是中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線.

當m<0且m≠-1時，①-1

參考文獻：

[1]天利全國高考命題研究組.高考試題匯編全解[M].拉薩：西藏人民出版社，2010.

[2]天利全國高考命題研究組.高考試題匯編全解[M].拉薩：西藏人民出版社，2011.

[3]章建躍.數學（選修1-1）[M].北京：人民教育出版社，2010.