淺談數形結合思想在初中數學教學中的嘗試

在初中數學教學中，應逐步滲透數形結合的思想方法，培養學生的思維能力，使其形成良好的數學思維習慣，數形結合的思想貫穿初中數學教學的始終。數形結合思想的內容主要體現在以下幾個方面：（1）建立適當的代數模型（主要是方程、不等式或函數模型）。（2）建立幾何模型（或函數圖象），解決有關方程和函數的問題。（3）與函數有關的代數、幾何綜合性問題。（4）以圖象形式呈現信息的應用性問題。采用數形結合思想解決問題的關鍵是找準數與形的契合點。在實際應用中，若單純就數而論，則會缺乏直觀性，若單純就形而論，則會缺乏嚴密性，當二者恰當結合時往往可優勢互補，收到事半功倍的效果。數形結合是把握數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想。數形結合，它將變“靜態”為“動態”，變“無形”為“有形”。它一方面是解題的過程，另一方面又是學生形象思維與抽象思維協同運用互相促進、共同發展的過程，對提高學生的觀察能力和思維能力是非常有幫助的。數形結合思想在初中數學中的幾點嘗試包含以下幾個方面：

一、有理數中的數學結合思想

數軸的引入是有理數內容體現數形結合思想的力量源泉。對于每一個有理數，數軸上都有唯一確定的點與它對應。因此，兩個有理數大小的比較，是通過這兩個有理數在數軸上的對應點的位置關系進行的（實數的大小比較也是如此）。相反數、絕對值概念則是通過數軸上的點與原點的位置關系來刻畫的。盡管我們學習的是有理數，但要時刻牢記它的形（數軸上的點），通過數形結合的思想方法的運用，幫助七年級學生正確理解有理數的性質及其運算法則。相關內容的中考試題，應用數形結合的思想也可順利得以解決。

例如：有理數的加法與減法教學時，安排下列數學活動：

（1）把筆尖放在數軸的原點處，先向正方向移動3個單位長度，再向負方向移動2個單位長度，這時筆尖停在表示“1”的位置上。用數軸和算式可以將以上過程及結果表示。

（2）把筆尖放在數軸的原點處，先向負方向移動3個單位長度，再向負方向移動2個單位長度，這時筆尖的位置表示什么數？請用數軸和算式表示以上過程及結果。

這樣設計教學讓學生從“形”上感受有理數的加法運算法則，采用人人都可以動手操作的筆尖在數軸上兩次移動的方法，直觀感受兩次連續運動中，點的運動方向與移動的距離對實際移動效果產生的影響，通過“形與數”的轉換，加深學生對有理數加法運算法則的理解。在學生充分自由活動的基礎上，用“數形結合”的觀點觀察在數軸上的連續兩次運動，探究有理數加法的幾何解釋。由表示兩次連續運動結果的點與原點的位置關系，確定兩數和的符號；由表示兩次連續運動結果的點到原點的距離，確定兩數和的絕對值。

二、方程中隱含的數形結合思想

“數缺形，少直觀；形缺數，難入微。”數形結合的思想，就是研究數學的一種重要的思想方法。列方程解應用題的難點是如何根據題意尋找等量關系列出方程，要突破這一難點，往往就要根據題意畫出相應的示意圖。這里隱含著數形結合的思想方法。例如，行程問題教學中，老師應滲透數形結合的思想方法，依據題意畫出相應的示意圖，才能幫助初中學生迅速找出等量關系列出方程，從而突破難點。

三、不等式中蘊藏著數形結合思想

教材在安排“解一元一次不等式組”的內容時，創設了這樣的問題情境“杜鵑花種植問題”，意圖是想讓學生理解解一元一次不等式與二元一次方程組一樣，需同時滿足兩個約束條件，讓學生經歷從問題到不等式組的建模過程。為了加深學生對不等式解集的理解，老師要適時地把不等式的解集在數軸上直觀地表示出來，使學生形象地看到，不等式有無數多個解。這里蘊藏著數形結合的思想方法。在數軸上表示數是數形結合思想的具體體現，而在數軸上表示數集，則比在數軸上表示數又前進了一步。確定一元一次不等式組的解集時，利用數軸更為有效。

四、函數及其圖象內容凸顯了數形結合思想

因為在直角坐標系中，有序實數對（x，y）與點P的一一對應，使函數與其圖像的數形結合成為必然。一個函數可以用圖形來表示，而借助這個圖形又可以直觀地分析出函數的一些性質和特點，這為數學的研究與應用提供了很大的幫助。因此，函數及其圖像內容突顯了數形結合的思想方法。教學時我們應注重數形結合思想方法的滲透，這樣會收到事半功倍的效果。

例如：在教學二次函數的應用時，設計這樣的問題，如圖所示，桃河公園要建造圓形噴水池。在水池中央垂直于水面處安裝一個柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m。由柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向沿形狀相同的拋物線落下，為使水流形狀較為漂亮，要求設計成水流在離OA距離為1m處達到距水面最大高度2.25m。

（1）如果不計其他因素，那么水池的半徑至少要多少m，才能使噴出的水流不至落到池外？

（2）若水流噴出的拋物線形狀與（1）相同，水池的半徑為3.5m，要使水流不落到池外，此時水流的最大高度應達到多少m（精確到0.1m）？

安排學生活動：（1）分析實際問題中的量，分清常量、變量及變量的變化范圍；（2）探索量與量之間的關系，變量的變化規律，確定函數關系；（3）根據函數關系式，求二次函數的最大值或最小值；（4）考查所得到的二次函數的最大值或最小值是否符合實際問題的意義，明晰結論。這樣設計能根據實際問題中數量變化關系的圖象特征，用相關的二次函數知識解決實際問題，引導學生從探索具體問題中的函數關系的經歷中，體驗將實際問題數學轉化的過程，體會二次函數是刻畫現實世界數量關系的有效的數學模型，進而獲得相應的數學思想、方法和技能，感受數學的價值。

“數以形而直觀，形以數而入微”。這是我國數學家華羅庚對數學結合思想的精辟論述。數形結合的思想，是通過數形間的對應與互助來研究并解決問題的思想，是最基本的數學思想之一，應用范圍較為廣泛，對于解決實際問題提供了巧妙的思想方法。數形結合的思想方法，是研究數學問題的一個基本方法。深刻理解這一觀點，有利于提高我們發現問題、分析問題和解決問題的能力。