從場論角度理解引力場的特性

摘要：本文將引力場的梯度、散度和旋度與靜電場相應的三量進行了對比，從場論的角度對引力場的屬性加以描述，加深了對引力場特征的認識。

關鍵詞：場論；引力場；特性

中圖分類號：GO314?搖 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）30-0176-03

一、前言

對于物體的重量人們非常熟悉，對于其產生的原因通常沒有深究，物體與物體之間的萬有引力及引力場的屬性，人們的認識至今也不夠完美、不夠徹底，特別是對引力場的理解不如對電磁場的清楚，因為萬有引力的特殊性，幾乎都從牛頓萬有引力定律這一實驗定律出發去解釋物理現象，對于物體周圍的引力場特性的認識很少，本文從場論的視角去觀查萬有引力場的特性，通過類比的方法認識引力場的梯度、散度和旋度，說明計算結果所具有的物理意義。

二、引力場的描述

根據今天人們對萬有引力和庫侖力的已有知識，比如萬有引力定律Fg=G■，庫侖力定律Fc=K■，都是與兩者距離的平方成反比的，數學形式高度一致，從而可以采用類比的方法引入引力線來描述引力場，即在引力場中假想存在一類曲線，它們來自無限遠，終止于質點上，在空間中任意一點不相交，不會形成閉合曲線，并且這些曲線上每一點的切線方向與該點引力場強度的方向一致。有了引力線的假定后，就可以用它來定義描述場的其他要素：

引力場場強■g：其大小等于單位質量的物體在該點所受到的引力■g=■=-■■°，■°是矢徑方向的單位矢量，方向指向施加引力的另一場源物體。用引力線的數密度來描述，在Eg的垂直方向上取一面積元，穿過這一面積元的引力線有條，那么比值ΔN/ΔS就是該點引力線的數密度，即垂直通過某點單位截面上的引力線的條數叫做該點引力線的數密度，也就是引力場場強。

引力通量φ：垂直穿過引力場中某一面積上的引力線的總條數。

三、引力場的旋度

靜電場和萬有引力場都是矢量場，旋度是矢量場的一種最大空間變化率，是描述矢量場旋性質的矢量，反映矢量場的微分性質，對于靜電場和萬有引力場只從源方面去研究還是不足以表述其內在性質，僅用旋量這種場積分來表述某一閉合曲線上旋的性質并不能反映場中每一點旋的變化特性。

為了研究場的旋度，要用到方向導數概念，若給定的矢量場■（M）和場中一點M，過M作一單位矢量■，并作以■為法線方向，以l為邊界的曲面∑'，其面積為ΔS，閉合曲線l與∑'正向聯系，當曲面∑'在M點處的法方向保持不變時，若極限：■■存在，則該極限值為矢量場■在M點處沿給定方向■的旋轉量對（曲面）面積的方向變化率（導數，或稱為旋轉量的面密度），寫成■。在空間直角坐標系中，設■，Fx，Fy，Fz在場中任一點M（x，y，z）有一階連續導數，過M點的矢量■的方向余弦為cosα，cosβ，cosγ，則■有下面的計算公式：

■=■-■cosα+■-■cosβ+■-■cosγ

即■=?塄×■■°，（■°為的單位矢量），根據■的定義，由斯托克斯公式把線積分化為面積分，再參考積分中值公式，即可得：

■=■■■?塄×■■°ds=?塄×■■°

■的計算轉為求偏導數，其值決定于給定的點M和過此點的方向。

對于靜電場中的一點，由安培環路定理及麥克斯韋方程組可知，rot■=?塄×■=0，對于引力場同樣計算得出

rot■=?塄×■=0

說明這兩種場都是無旋場。再看看引力所做的功，設質量為m的物體在引力作用下移動，引力的元功為dA=-■=-■■°·■r=■dr，在從較遠的r1到較近的r2過程中，引力所作的功為A=■dA=■（-■）dr=GMm（■-■），可見引力做功與路徑無關，引力做正功引力勢能減小，若把引力勢能的零點定在無限遠處，則引力勢能的表達式為：

A=■dA=■（-■）dr=-■

引力場中一點的引力勢可表示為：Ug（r）=■=-■，當然這個結果也可以通過引力場場強積分求出。

四、引力場的散度

在給定矢量場■和場中一點M，在M點周圍作一個包圍M點在內的任一閉合曲面∑，而∑所圍區域?萃的體積為?駐V，若極限：■■（其中ΔV→0，表示?萃以任意方式收縮向點M）存在，則該極限值叫做矢量場■（M）在M點的散度，記作div■（M），引力場中一點的散度表述了引力場強度■的引力通量Φg=■■■·■對于場中點M的空間變化率，也就是引力通量Φg在M點的體密度，是描述場中給定點M處的源的強弱的一個數量。散度div■是由■產生的，而又描述該矢量場源的變化特性的數量場，div■又可以稱為■的散度場。引力場強度■=■=-■■°，如果閉合曲面∑（設為半徑為r的球面）上引力通量為：

Φg=■■（-■■°）·■=-4πGM

質量M是閉合曲面內部的質量，根據高斯散度定理，

■■■·■=■?塄·■dV，其中∑取外側，則：div■=■■■?塄·■dV，再應用三重積分中值公式，在區域?萃內總有一點P存在，使得■?塄·■dV=?塄·■dV，當?塄·■dV縮向M點時，div■=■■■·■dV=?塄·■，即：div■=?塄·■=-4πGM，其中ρ是質量體密度，G仍是萬有引力常數，引力場散度計算轉換為微分運算。

引力場場強在任意一點的散度等于該點質量密度的-4π倍，在沒有質量的點散度為零。

五、引力勢的梯度

前面根據旋度討論可知，引力場是無旋有勢場，存在引力勢Ug（r）=-■，與靜電場情況類似，■=-?塄Ug，則：?塄2UR=-4πGρ，這是引力勢所滿足的泊松方程，當ρ=0時，則?塄2UR=0，轉換為拉普拉斯方程，其中引力勢UR=UR（M），質量體密度是空間點的數量函數。

求解引力場的問題轉化為在給定條件下，求解引力勢的泊松方程或拉普拉斯方程的問題，解出引力勢UR后，再由■=-?塄Ug，就可以求得場中每一點的引力場強度。

六、結論

從萬有引力定律出發，類比靜電場的分析方法，對引力場的特性用場論的方式進行了討論，明確了下列幾點：

1.引力場是有源場，所有的質點都伴隨引力場，引力線都匯聚指向到質點。

2.引力場是無旋場，是矢量場。

3.引力場是有勢場，且引力勢滿足泊松方程或拉普拉斯方程，通過求解方程就可以求出場中任意一點的引力場強度。

4.由于質點引力場的球對稱性，因而計算中采用球坐標系計算比較方便。

5.通過與靜電場類比，強烈暗示負質量物質應該存在。

參考文獻：

[1]闞仲元.電動力學教程[M].北京：高等教育出版社，1988.

[2]梁昆淼.數學物理方法[M].北京：電子工業出版社，1990.

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