淺析數(shù)學(xué)之美

摘要：數(shù)學(xué)不僅能帶給我們巨大的科技成就，更帶給我們純精神領(lǐng)域的美的愉悅。本文從美學(xué)的三個(gè)角度和諧美、簡(jiǎn)潔美和奇異美來(lái)探討數(shù)學(xué)之美。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；美學(xué)；方法

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.4?搖 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2013）30-0120-02

數(shù)學(xué)能給予我們什么？美國(guó)著名的數(shù)學(xué)史家、數(shù)學(xué)教育家與應(yīng)用數(shù)學(xué)家莫里斯·克萊因曾經(jīng)說(shuō)過(guò)一段話(huà)：“音樂(lè)能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫(huà)使人賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上的一切。”從中，我們能找到答案。數(shù)學(xué)不僅能帶給我們巨大的科技成就，更帶給我們純精神領(lǐng)域的美的愉悅。

本文將從以下幾個(gè)美學(xué)的角度來(lái)探討數(shù)學(xué)之美。

一、和諧美

和諧即適當(dāng)和勻稱(chēng)。現(xiàn)實(shí)世界具有極精美的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)就是研究現(xiàn)實(shí)世界的充滿(mǎn)和諧的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)學(xué)的和諧美具體表現(xiàn)為統(tǒng)一美和對(duì)稱(chēng)美。

公理化方法的形成，就是追求整體與部分的統(tǒng)一性的結(jié)果。被譽(yù)為“幾何之父”的古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德在公元前300年左右所寫(xiě)的幾何巨著《幾何原本》是數(shù)學(xué)公理化的最早典范。在歐幾里德之前，幾何學(xué)的內(nèi)容已經(jīng)相當(dāng)豐富，但那是的幾何知識(shí)是零散的、雜亂無(wú)章的。歐幾里德精心選擇了最初的23個(gè)定義、5條公設(shè)和5條公理，從這些最初的原始概念和命題出發(fā)，通過(guò)嚴(yán)密的邏輯推理，推導(dǎo)出286個(gè)命題，從而將千頭萬(wàn)緒的幾何素材組織統(tǒng)一起來(lái)，使之形成一個(gè)完整的幾何學(xué)演繹知識(shí)體系。

法國(guó)大數(shù)學(xué)家笛卡爾創(chuàng)立的解析幾何堪稱(chēng)統(tǒng)一美的典范。在17世紀(jì)以前，代數(shù)和幾何是相互分離，彼此無(wú)關(guān)的。當(dāng)時(shí)，代數(shù)還是一門(mén)比較新的科學(xué)，幾何學(xué)的思維還在數(shù)學(xué)家的頭腦中占有統(tǒng)治地位。解析幾何的核心思想是：用代數(shù)的方法來(lái)研究幾何的問(wèn)題。幾何問(wèn)題不僅可以歸結(jié)成為代數(shù)形式，可以用代數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行計(jì)算、證明，而且可以通過(guò)代數(shù)變換來(lái)發(fā)現(xiàn)幾何性質(zhì)，證明幾何性質(zhì)。解析幾何的出現(xiàn)，改變了自古希臘以來(lái)代數(shù)和幾何分離的狀況，用代數(shù)方程來(lái)表示空間曲線(xiàn)和曲面，把相互對(duì)立著的“數(shù)”與“形”統(tǒng)一了起來(lái)，實(shí)現(xiàn)了空間形式和數(shù)量關(guān)系的完美結(jié)合。

另外，數(shù)學(xué)中隨處可見(jiàn)對(duì)稱(chēng)美。比如數(shù)學(xué)圖形、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)方程式、數(shù)學(xué)結(jié)論和數(shù)學(xué)方法中，都蘊(yùn)含著奇妙的對(duì)稱(chēng)美。

數(shù)學(xué)中隨處可見(jiàn)對(duì)稱(chēng)的圖形，比如正多邊形，圓，球體，正弦、余弦函數(shù)圖象等。城市中的標(biāo)志性建筑物，大部分都是對(duì)稱(chēng)的建筑物，如古希臘的巴特農(nóng)神廟，上海的東方明珠塔，巴黎的埃菲爾鐵塔。站在北京的天安門(mén)廣場(chǎng)眺望天安門(mén)城樓，無(wú)不為中國(guó)古代建筑師的杰作而嘆為觀(guān)止，這其中就包含了對(duì)稱(chēng)性和各部分建筑的合適的比例。很多數(shù)學(xué)概念也具有對(duì)稱(chēng)美，如正與負(fù)，實(shí)與虛，增與減，上界與下界，左極限與右極限，左連續(xù)與右連續(xù)，左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)，方與圓，曲與直等等。

二、簡(jiǎn)潔美

數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美，主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)方法的簡(jiǎn)潔上。

數(shù)學(xué)語(yǔ)言的最大特點(diǎn)就是敘述一個(gè)概念或定理，要準(zhǔn)確、完備、簡(jiǎn)潔。數(shù)學(xué)語(yǔ)言是一種符號(hào)語(yǔ)言，與自然語(yǔ)言的區(qū)別在于：它不僅比自然語(yǔ)言具有更強(qiáng)的準(zhǔn)確性，而且具有更多的簡(jiǎn)潔性。比如數(shù)列極限的定義。自然語(yǔ)言敘述比較冗長(zhǎng)：對(duì)于一個(gè)無(wú)窮數(shù)列{an}，當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，通項(xiàng)an無(wú)限趨近于某一常數(shù)A，此時(shí)稱(chēng)數(shù)列{an}存在極限，或者稱(chēng)數(shù)列{an}收斂，且稱(chēng)數(shù)列{an}收斂于A(yíng)，A稱(chēng)為數(shù)列{an}的極限。記為：■an=A。而數(shù)學(xué)語(yǔ)言（ε-N語(yǔ)言）的敘述就非常簡(jiǎn)潔：

■an=A

?圳?坌?著＞0，?堝N∈N+，?坌n＞N，|an-A|＜?著

很多的數(shù)學(xué)問(wèn)題在“山重水復(fù)疑無(wú)路”的時(shí)候，簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)方法能“柳暗花明又一村”。其中一個(gè)著名的例子就是瑞士數(shù)學(xué)家歐拉處理哥尼斯堡七橋問(wèn)題。

18世紀(jì)在哥尼斯堡城（今俄羅斯加里寧格勒）的普萊格爾河上有7座橋，將河中的兩個(gè)島和河岸連結(jié)，如下圖1所示。城中的居民經(jīng)常沿河過(guò)橋散步，于是提出了一個(gè)問(wèn)題：能否不重復(fù)地走遍7座橋，并且每座橋只走一次？這就是歷史上著名的七橋問(wèn)題。歐拉將該問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)連通的網(wǎng)路能否一筆畫(huà)的問(wèn)題。他用下圖2中的四個(gè)點(diǎn)來(lái)表示島嶼和陸地，用連接頂點(diǎn)的七條弧表示七座橋。把從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的弧的條數(shù)稱(chēng)為該頂點(diǎn)的指數(shù)。若從該頂點(diǎn)出發(fā)引出奇數(shù)條弧，稱(chēng)該頂點(diǎn)為奇頂點(diǎn)。若從該頂點(diǎn)出發(fā)引出偶數(shù)條弧，稱(chēng)該頂點(diǎn)為偶頂點(diǎn)。從而把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成拓?fù)鋵W(xué)中的一筆畫(huà)定理：一個(gè)網(wǎng)路能一筆畫(huà)的充要條件是：它是連通的，并且奇頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)是0個(gè)或者2個(gè)。因?yàn)橄聢D2中的奇頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)，所以該圖不能一筆畫(huà)。即哥尼斯堡不能一次性不重復(fù)地走完。

借助于直觀(guān)的數(shù)學(xué)圖形，應(yīng)用簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)方法，歐拉成功地解決了哥尼斯堡一筆畫(huà)問(wèn)題，并且證明了一筆畫(huà)定理，給出了一個(gè)網(wǎng)絡(luò)能否一筆畫(huà)的普遍的通用的法則。

三、奇異美

奇異美是指對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的破壞，當(dāng)然這種“破壞”是美學(xué)中的新思想、新理論、新方法對(duì)原有習(xí)慣的一種美的突破。

例如下列算式的奇異性：

（999999999×999999999）÷（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1）。此算式整齊、勻稱(chēng)、和諧、平衡、給人以美的享受，使人感興趣。令人驚奇地是答案為12345678987654321。此答案仍具有整齊、勻稱(chēng)、和諧、平衡等特點(diǎn)，使人感到奇異。

再看看下例，從中我們可以體會(huì)到數(shù)學(xué)方法的奇異美。例如：要求和

y=1-■+■-■+…+（-1）n■+…。先構(gòu)造出一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)

y（x）=x-■+■-■+…+（-1）n■+…

然后微分，得到

y'（x）=1-x2+x4-x6+……+（-1）nx2n+…

=■

再積分，得到

y（x）=■■dx=arctanx

最后代入x=1的值，得到和為y=y（1）=■這種求和的方法，通過(guò)先微分再積分這樣的一對(duì)互逆的運(yùn)算得到和函數(shù)的某一具體值，頗有九曲回腸之奇異。

我們?cè)跀?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，若有心，隨處可見(jiàn)數(shù)學(xué)的美。通過(guò)我們的課堂，數(shù)學(xué)的美傳達(dá)給了學(xué)生，而這種持久的數(shù)學(xué)美的愉悅卻久久地留在師生的心底。

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基金項(xiàng)目：本文由海南省高等學(xué)校科學(xué)研究項(xiàng)目（NO.Hjkj2012-14）和瓊臺(tái)師范高等專(zhuān)科學(xué)校科學(xué)研究項(xiàng)目（No.qtky201111）共同支持

作者簡(jiǎn)介：曹鵬（1979.5-），女，碩士，湖北當(dāng)陽(yáng)人，瓊臺(tái)師范高等專(zhuān)科學(xué)校數(shù)理系講師，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)文化。

通訊作者：羅自強(qiáng)（1977.12-），男，博士，湖北咸寧人，海南師范大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院副教授，研究方向?yàn)閼?yīng)用數(shù)學(xué)。