從數(shù)學(xué)“陷阱”中挖掘條件

摘要：中學(xué)生在數(shù)學(xué)解題時(shí)通常思維方式呆板直接，考慮問題模式化、公式化，不能靈活運(yùn)用，不能抓住題目條件中的隱含條件，避不開題目中的“陷阱”，挖掘不出陷阱中隱含的條件而無法解題。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)；挖掘；隱含條件

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B 文章編號(hào)：1674-9324（2013）46-0130-02

在從事初中的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，經(jīng)常發(fā)現(xiàn)學(xué)生在數(shù)學(xué)解題時(shí)思維方式呆板直接，考慮問題模式化、公式化，不能靈活運(yùn)用，不能抓住題目條件中的隱含條件，避不開題目中的“陷阱”，挖掘不出陷阱中隱含的條件而無法解題。

其實(shí)在很多數(shù)學(xué)問題中，有很多的隱含條件是沒有直接給出的，需要學(xué)生認(rèn)真分析、仔細(xì)觀察甚至是廣泛聯(lián)想才能發(fā)現(xiàn)。如果能很好的利用這些隱含條件，將會(huì)使我們的解題過程非常簡(jiǎn)單，相反如果忽視這些隱含條件，解題過程將復(fù)雜化，甚至是解不出來。那么如何正確挖掘隱含條件，避開陷阱呢？

一、從數(shù)學(xué)概念中挖掘隱含條件

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)概念的學(xué)習(xí)往往停留在表面上，這也是解題時(shí)常出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因所在，而只有在對(duì)題目所涉及到的概念、定理、公式、法則、性質(zhì)、圖形等制約因素做到心中有數(shù)，在全面、深刻理解概念的基礎(chǔ)上，才能從數(shù)學(xué)概念中挖掘出隱含條件，進(jìn)一步指導(dǎo)解題。

例1：若二次根式■與■是同類二次根式，求a和b的值

分析：由題知a+b=2，得■=3■

由同類二次根式的定義知a+b=2a=a+8b

解這個(gè)方程組，得a=2b=0

本題中的隱含條件有a+b=2，另一個(gè)陷阱■不是最簡(jiǎn)二次根式（同類二次根式必須是化簡(jiǎn)后的最簡(jiǎn)二次根式）。了解了這兩個(gè)隱含條件，解題就比較簡(jiǎn)單了。

二、從命題的存在性中挖掘隱含條件

有些數(shù)學(xué)問題，其存在性條件常被隱去，而又往往引不起注意，從而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤或思維受阻，解題時(shí)必須注意克服常規(guī)思維定勢(shì)的消極影響，靈活思維，抓存在，挖條件，使問題獲得正確的解答。

例2：若x，y為實(shí)數(shù)，且y=■，求■·■的值

分析：學(xué)生按常規(guī)思維求解的話，顯得無從下手。這時(shí)就要注意二次根式的存在性（被開方數(shù)必須大于等于零），便可使問題獲解，所以根據(jù)被開方數(shù)存在的意義有：x2-4≥04-x2≥0 解這個(gè)不等式組，得x2=4

做到這時(shí)，有的同學(xué)可能就以為x=2或-2了，這里又有個(gè)陷阱，我們要注意分母的存在性，分母不能為零，所以還要加上x+2≠0，此時(shí)解題才算完整。

可得x=2

當(dāng)x=2時(shí)，y=■

則■·■=■

三、從題設(shè)條件中挖掘隱含條件

例3：若一元二次方程x2-ax-4a=0的兩實(shí)數(shù)根的和為4a2-3，求兩根之積

錯(cuò)解：由已知得4a2-3=a

解這個(gè)方程得a=-■或1

然后再根據(jù)公式得兩根之積是3或-4

說明：由題設(shè)條件“兩實(shí)數(shù)根的和”知Δ≥0，而當(dāng)a=-■時(shí)，Δ<0，此時(shí)方程無實(shí)數(shù)根，應(yīng)該舍去。所以a只能取1，當(dāng)a=1時(shí)，兩根之積為-4。

本題陷阱設(shè)在應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的條件中。命題者往往根據(jù)同學(xué)們不注意公式的限制條件而盲目套用的不良習(xí)慣，有意設(shè)置陷阱，解題時(shí)稍不小心就會(huì)出錯(cuò)。

四、從解題變形中挖掘隱含條件

在解題過程中，關(guān)注每一步變形，并從變形中挖掘隱含條件，則能拓展解題思路，簡(jiǎn)化運(yùn)算過程，使問題順利獲解。

例4：當(dāng)a為何值時(shí)，關(guān)于x的方程■+■=■無解？

錯(cuò)解：解這個(gè)分式方程得x=■

當(dāng)x=±2時(shí)，原方程無解

此時(shí)■=±2

a=-4或6

當(dāng)a=-4或6時(shí)，原方程無解

說明：本題的陷阱在解這個(gè)分式方程的最后一步變形中：方程兩邊同時(shí)除以（1-a），許多學(xué)生很容易把（1-a）看成不等于零的數(shù)，而把1-a=0的情況給遺漏了。所以還應(yīng)有第二種情況：1-a=0時(shí)也是符合題意的。正確解應(yīng)該是：當(dāng)a=-4或6或1時(shí)，原方程無解。

五、從解題所用的結(jié)論中挖掘隱含條件

例5：設(shè)鈍角三角形三邊長(zhǎng)分別為k，k+1，k+2，求k的取值范圍

錯(cuò)解：由（k+2）2>k2>（k+1）2

解得k<3

說明：此解法中只注意了鈍角的條件，但這三條線段能否構(gòu)成三角形卻沒有保證，事實(shí)上，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊這個(gè)條件，還應(yīng)有k+（k+1）>k+2這一條件，即k>1，綜上得1

六、從題目的結(jié)構(gòu)特征中挖掘隱含條件

解題時(shí)若題設(shè)中隱含著與某些概念、公式具有類似結(jié)構(gòu)的數(shù)、式或圖形信息，則應(yīng)抓住結(jié)構(gòu)特征，揭示隱含條件，用構(gòu)造的方法轉(zhuǎn)化研究對(duì)象，使問題順利解決。

例6：若△ABC的三邊a，b，c滿足條件a2+b2+c2=338=10a+24b+26c，試判斷△ABC的形狀

分析：這道題看上去無法直接解答，但是注意到a2與10a，b2與24b，c2與26c，就聯(lián)想到能否用完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2呢？

解：由a2+b2+c2=338=10a+24b+26c

得（a2-10a+25）+（b2-24b+144）+（c2-26c+169）=0

（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0

a=5 b=12 c=13

再由勾股定理的逆定理判斷出△ABC是直角三角形。

七、從圖形特征上挖掘隱含條件

例7：直角三角形紙片的兩直角邊BC，AC的長(zhǎng)分別為6，8，現(xiàn)將△ABC如下圖那樣折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為DE，求CE的長(zhǎng)。

分析：本題的隱含條件是圖形中直角三角形紙片通過折疊后，AE和BE是完全重合的，也就是AE=BE。有了這個(gè)條件解題就簡(jiǎn)單多了。

解：設(shè)CE為x，則BE=AE=8-x，

∵∠C=90°，

BE2-CE2=BC2

（8-x）2-x2=36

解得x=■

本題主要是通過挖掘圖形折疊中翻折前后對(duì)應(yīng)邊相等的隱含條件和勾股定理來解題。

數(shù)學(xué)解題中，充分挖掘解題中的隱含條件，把題目中含而未露的固有條件展示出來，就能開闊我們的解題思路，從而大大提高我們的解題能力。