淺談保守力

摘要：首先介紹力的幾種分類，討論了保守力與非保守力的特點(diǎn)，以及非保守力中耗散力與非耗散力的區(qū)別，并討論了保守力的判定條件，研究了保守力做功與勢(shì)能變化之間的關(guān)系。保守力作為力學(xué)中的一個(gè)重要概念，在物理學(xué)教學(xué)研究當(dāng)中有重要的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：保守力；耗散力；判定條件；勢(shì)能

中圖分類號(hào)：G642.4？搖 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2013）46-0129-02

一、力的分類

1.保守力。所做功只與物體的相對(duì)起始和終點(diǎn)所在之處相關(guān)聯(lián)，而與其物體的過程軌跡無關(guān)的力，即為保守力[1]。假若一力學(xué)體系里，所有的作用力都是保守力，則稱此系統(tǒng)為保守系統(tǒng)。若場(chǎng)力的積分，則WABC=WADC，由此WABCDA=WABC+WCDA=WABC-WADC=0。從其定義已經(jīng)了解到對(duì)象的相對(duì)起始和終點(diǎn)所在之處決定了保守力做功的多少，假若在此力的作用下，物體的運(yùn)動(dòng)在一個(gè)封閉的路徑繞行一個(gè)周期后回到起始位置，則作功是零。假若空間中存在某一質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)不論在其周圍任何位置，其所受到的力f與向量同向或反向，即受到吸引力或排斥力，力的大小是標(biāo)量的單值函數(shù)，我們稱這樣的力為有心力。所有的有心力都是保守力，如萬(wàn)有引力（重力）。如果在一個(gè)孤立的系統(tǒng)中，所有的作用力都是保守力，則為機(jī)械能守恒的系統(tǒng)。

2.非保守力。力所做的功與其運(yùn)動(dòng)軌跡有關(guān)的作用力即為非保守力。通常由于能量守恒原理，非保守力做功的能量損耗被轉(zhuǎn)移到其他地方。例如，物體間摩擦力做功會(huì)使機(jī)械能轉(zhuǎn)變?yōu)闊崮埽袝r(shí)候也伴隨著聲能等。游船在水中移動(dòng)時(shí)，水對(duì)船身的阻力將船所具有的機(jī)械能轉(zhuǎn)變，如熱能、聲能和波能等。從熱力學(xué)第二定律可推斷出，非保守力的能量損耗不可逆。

3.耗散力。作用力對(duì)質(zhì)點(diǎn)體系做功為負(fù)，從此導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)的機(jī)械能總體減少的力即為耗散力。耗散力做功與力使物體運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的軌跡有關(guān)[2-4]。力的劃分根據(jù)力做功與運(yùn)動(dòng)軌跡是否相關(guān)而區(qū)分為保守力與非保守力；耗散力、非耗散力是非保守力的兩個(gè)組成部分。我們?cè)诹W(xué)體系內(nèi)了解的非保守力基本上都為耗散型力，因而長(zhǎng)久以來耗散力就幾乎等同于非保守力的代替詞。然而非保守力并不都是耗散力，這二者是有區(qū)別的，例如，一根繩子跨過一個(gè)上端固定的輕質(zhì)滑輪，此繩兩端分別連接有兩個(gè)重量不相等的重物，在放開物體令其自由運(yùn)動(dòng)后，繩子的拉力對(duì)下降的物體做功為負(fù)，對(duì)上升的物體做功為正。但是根據(jù)能量守恒定律，在整個(gè)過程中機(jī)械能并無損失，而是轉(zhuǎn)變?yōu)橄鄳?yīng)內(nèi)能等，所以此拉力既不是屬于保守力之列，也不是屬于耗散力之列，即為非耗散力。現(xiàn)作如下說明：首先，質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)起始和終點(diǎn)所在之處決定了保守力做功的多少，假若在此力的作用下，物體的運(yùn)動(dòng)在一個(gè)封閉的路徑繞行一個(gè)周期后回到起始位置，則做功是零。耗散力做功和物體的運(yùn)動(dòng)軌跡有關(guān)，而不能由物體所處的相對(duì)起始和終點(diǎn)所在之處完全決定，在其他外部條件全都一致時(shí)，作用力經(jīng)歷的軌跡路徑越長(zhǎng)，耗散力做功就愈多。其次，由于保守力和耗散力本身的特點(diǎn)關(guān)聯(lián)，這兩種力做功情況是不同的。系統(tǒng)確定以后，保守力和對(duì)象的運(yùn)動(dòng)情況無關(guān)，它的大小是由相互作用的物體的相對(duì)位置決定，其方向一直處于二相互作用質(zhì)點(diǎn)之間的連線上。

二、保守力的判定條件

1.保守力與非保守力的區(qū)分。如何區(qū)分力是否是保守的，勢(shì)能U（x，y，z）存在的充分以及必要的條件是，若Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z分別是坐標(biāo)空間x，y，z的有限、單值和可微的函數(shù)，那么勢(shì)能U（x，y，z）存在的必要條件是力的旋度為零，即？塄×F=0[4]。反之，若？塄×F=0，那這個(gè)力就必定是保守力，它就是做功量與其運(yùn)動(dòng)軌跡不相關(guān)的力，因而，也就一定有這樣一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)量函數(shù)U（x，y，z）就是勢(shì)能。如果？塄×F≠0，那這個(gè)力就必定是非保守力，這時(shí)它就是做功量與其運(yùn)動(dòng)路徑有關(guān)的力，因而相關(guān)勢(shì)能也無從說起。

2.保守內(nèi)力及外力。判斷作用與反作用內(nèi)力是否為保守內(nèi)力時(shí)，相應(yīng)地成對(duì)力滿足牛頓第三定律，所以可設(shè)力學(xué)體系中任意兩質(zhì)點(diǎn)α和β。兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間內(nèi)力做功情況：■αβ·d■β+■αβ·d■α=■βα·d（■β-■α）=■βα·d■βα=fβαdβα。若這對(duì)內(nèi)力做功只是和兩質(zhì)點(diǎn)相對(duì)起始和終點(diǎn)所在之處相關(guān)，而與兩質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡無關(guān)，或若這對(duì)內(nèi)力沿任一相對(duì)閉合回路一個(gè)循環(huán)作的總功是零，則該對(duì)內(nèi)力即為保守內(nèi)力。可見，判斷力學(xué)系統(tǒng)內(nèi)力是否為保守內(nèi)力，應(yīng)該分析一對(duì)作用力與反作用力所作的功，看它與兩質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的路徑是否無關(guān)，而僅與兩質(zhì)點(diǎn)間相對(duì)的始末位置有關(guān)，若滿足，該對(duì)內(nèi)力是保守內(nèi)力，反之，該對(duì)內(nèi)力就是非保守內(nèi)力[5]。分析力學(xué)體系外力是否為保守外力的判據(jù)，同單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的一樣，就是對(duì)于所選取的參照系，若某外力做功與其路徑無關(guān)，或沿任一閉合回路一周后該外力做功為零，則該外力為保守外力。

三、保守力與勢(shì)能的關(guān)系

1.勢(shì)能與保守力。基于勢(shì)能的關(guān)系，我們將物體間的相互作用力分為兩種，一種是保守力，另一種是非保守力。物理問題中研究保守力做功時(shí)，有心力運(yùn)動(dòng)中用由能量表示的軌道微分方程求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道及應(yīng)用拉格朗日方程求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程等問題中，都常會(huì)出現(xiàn)已知保守力求其勢(shì)能的問題。

2.勢(shì)能的特點(diǎn)。相互作用的保守內(nèi)力質(zhì)點(diǎn)組之間存在著由其之間的相對(duì)位置決定的能量，當(dāng)發(fā)生相對(duì)位置改變時(shí)，其勢(shì)能增量的負(fù)值就等于成對(duì)的保守內(nèi)力做功之和。從這個(gè)方面可以得到勢(shì)能具有以下特點(diǎn)：首先是由于成對(duì)內(nèi)力做功之和與勢(shì)能計(jì)算參考框架無關(guān)，而由于對(duì)勢(shì)能值的確定具有相對(duì)性，上式只定義了勢(shì)能的增量，而不能確定對(duì)應(yīng)某一相對(duì)位置的勢(shì)能值；其次，勢(shì)能也是具有可疊加性的，原因是功這一概念具有可疊加性。勢(shì)能的變化不能只取決于一個(gè)保守力的力量，而是與一雙保守的內(nèi)力的所做的功之和相應(yīng)的；既然勢(shì)能是與質(zhì)點(diǎn)組中各質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)起始和終點(diǎn)所在之處對(duì)應(yīng)的，而且是由質(zhì)點(diǎn)間相互作用的成對(duì)內(nèi)力做功之和來度量的，因此勢(shì)能是屬于整個(gè)質(zhì)點(diǎn)組的，而且不能屬于單個(gè)粒子與單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的[5]。

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