數學中的特殊數字

摘要：本文主要介紹數學中一些常見的具有特殊意義的數字，介紹它們的歷史起源，并總結對這些特殊數字的研究歷程中的階段性成果，分析它們的特殊意義及價值。

關鍵詞：特殊數字；零；圓周率；自然常數；無窮大；虛數；質數；完全數

中圖分類號：G642.1 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）46-0125-02

一、零0

數字“0”，可以表示“沒有”，也可以在數中起占位作用，更可以用來表示界限。它既不是正數也不是負數，而是正數和負數之間的一個數。歷史上，使用符號表示“虛無”已經有幾千年的歷史。公元前700年開始，巴比倫人在他們的數字系中使用零作為占位符。瑪雅文明（如今的墨西哥）已經以各種形式使用“O”。墨西哥中南部奧爾梅克文明晚期的人民已在新大陸上開始使用真正的零，其時間可能是在公元前4世紀，但較肯定的是在公元前40年，它變成了瑪雅數字和瑪雅歷法的一部分。公元130年時，被喜帕恰斯和巴比倫人在六十進位制里使用了零的符號所影響。公元525年，零被使用在以羅馬數字編制的表格上。在7世紀，公元628年，印度數學家婆羅摩笈多將“0”作為一個“數字”對待，而不僅僅是一個占位符，并且制定了與其他數字的運算法則，建立了一套使用規則，并討論包含零的運算，包括除法。包含了“O”的印度—阿拉伯數字系統最早是由比薩的斐波那契于1202年在他的Liber Abaci（《計算之書》）中發表的，他在印度—阿拉伯數字系統1-9中加入了一個新的符號“0”，隨后在西方推廣開來，并在印度—阿拉伯用于四則運算的教學中。

二、圓周率π

圓周率π或者pi，是圓周的周長和它的直徑的比值。它的值，不取決于圓周的大小，無論圓周是大是小，π的值都是恒定不變的。π產生于圓周，但是在數學中它卻無處不在，比如概率論、流體力學、光學、甚至量子理論中。人們在古時候就對圓周周長和直徑的比值產生了濃厚的興趣。在公元前2000年左右，巴比倫人發現了周長大約是直徑的3倍。公元250年阿基米德給出此比值的近似值為22/7。公元1706年，威爾士數學家威廉·瓊斯引入了符號π。18世紀著名物理學家和數學家歐拉在圓周率的使用中將π推廣開來。我們無法知道π的精確數值，因為它是一個無理數，這一點被約翰·蘭伯特于1761年證明。德國數學家林德曼在1882年證明了π是“超越”的，即π不可能是代數方程（一個僅含有x的指數項的方程）的解。通過解決這個“千古之謎”，林德曼給出了“變圓為方”這一問題的結論，此問題為：給定一個圓，如何利用一對圓規和直尺構造一個和它面積一樣的正方形。林德曼最后證明這是不可能做到的。

三、自然常數e

e是一個近似值為2.71828的數，是自然對數函數的底數。和π一樣，e也是一個無理數，因此，我們也無法知道它的精確數值。e主要出現在涉及增長的地方。公元1618年約翰·皮內爾找到了涉及對數的常數e。1727年歐拉在對數理論中使用了符號e，因此它有時也被稱為歐拉數。歐拉在1737年證明了e是無理數（而不是分數）。1748年歐拉將e計算到了小數點后23位；大概在同一時候，他發現了著名的歐拉公式eiπ+1=0。1840年，法國數學家劉維爾證明了e不是任何2次方程的解，而在1873年，他的同胞埃爾米特，開創性地證明了e是超越的（不是任何代數方程的解）。

四、無窮大∞

無窮大是多大？簡單地說，∞（表示無窮大的符號）非常大。想象一條由數字排成的直線，隨著數字不斷增大，直線一直延伸下去，直至“消失在無窮”。事實上，無窮大并不是一個普通意義上的數。1639年德扎格在幾何學中引入了無窮的概念。1655年約翰·沃利斯是第一個使用“同心結”符號∞表示無窮的人。1874年康托爾非常嚴謹地對待無窮，他具體說明了不同階的無窮，說明無窮大也分大小。

五、虛數

虛數理論開始于-1的平方根。那么，什么數平方后可以得到-1呢？如果僅限于實數軸，我們將永遠找不到-1的平方根，因為任何實數的平方都是非負的。大膽接受“-1的平方根”作為一個新的實體（表示為i），這是數學史上非常重要的一步，大約發生在19世紀初。實數和虛數統稱為復數。從此以后進入了一個全新的二維數平面。公元1572年拉斐羅·幫別利在計算中使用了虛數。1777年歐拉第一次使用符號i來表示-1的平方根。1806年阿岡對復數的圖表表示法被稱為阿岡圖。1811年高斯對復數變量的函數進行了研究。1837年哈密頓將復數看作是有序的實數對。

六、質數

質數，也稱為素數，是只可被1和它自身所整除的自然數。歐幾里得在他的《幾何原本》（第9卷，命題20）中陳述到：“素數的個數要超過任何一個我們可以指定的數。”但是，在整數序列中質數的出現并沒有規律可循。公元前300年歐幾里得在《幾何原本》中給出了有無窮多個質數的證明。公元前230年埃拉托色尼描述了一種從所有整數中篩出質數的方法。1742年哥德巴赫猜測所有大于2的偶數都可表述為兩個質數的和。1896年關于質數分布的質數定理被證明。1966年中國著名數學家陳景潤幾乎證實了哥德巴赫猜想。

七、完全數

完全數，又稱完美數或完備數，是一些特殊的自然數。它所有的真因子（即除了自身以外的約數）的和，恰好等于它本身。比如6，其因子之和1+2+3=6。公元前525年畢達哥斯拉學派的研究涉及了完全數和過剩數。公元前300年歐幾里得在《幾何原本》第9卷中討論了完全數，給出了完全數的數學性質。而400年后，公元100年尼克馬修斯對其進行了更加深入的研究，基于完全數將數進行了分類。一個數的因子之和大于它本身就稱為盈數，一個數稱為虧數則是它的因子之和小于它本身，一個既不是盈數也不是虧數的數便是完全數。第一個完全數是6，其因子之和1+2+3=6。第二個是28，它的真因子1，2，4，7以及14加起來得28。前兩個完全數，6和28，在完全數中有著至關重要的地位，因為可以證明所有的偶數完全數都以6或28結尾。第三個是496，第四個是8128。第五個完全數就要大得多，是33550336，這個完全數直到十五世紀才由一位無名氏給出。1603年，皮特羅·卡塔爾迪找到了位數高達十位的第6個完全數和位數高達十二位的第7個完全數。一直到現在，即便有了計算機輔助，但人們仍不知道是否有一個最大的，或者說是否會有無窮多個完全數。尋找更大完全數的工作仍在進行中。

浩渺的數字家族中，具有特殊意義的數字并不只有以上七種。還有更多具有特殊意義和特殊性質的數字，期待著數學愛好者們去探究和追尋。

參考文獻：

[1][英]克里利，著.你不可不知的50個數學知識[M].王悅，譯.人民郵電出版社，2010年9月第1版.

[2]陳仁政.不可思議的e[M].北京：科學出版社，2005.

[3]陳仁政.說不盡的π[M].北京：科學出版社，2005.

[4]阿西莫夫，著.數的趣談[M].洪丕柱，等，譯.上海科學技術出版社出版，1980.

基金項目：2012年遼寧省大學生創新創業訓練計劃項目（項目編號：201211258005）

作者簡介：李國慶（1990-），男，遼寧大連？搖大連大學信息工程學院本科生。

通訊作者：王鳳霞（1980-），女，遼寧大連？搖大連大學信息工程學院講師。