數值分析課程分層次教學研究初探

摘要：結合教學實踐過程，針對高校學生客觀存在的差異，提出數值分析課程分層次教學模式的思考。目的是改革傳統教學方法，使教學在充分考慮學生個性差異和不同需求的前提下，促使學生更積極主動地進行學習，提高教學效果。

關鍵詞：數值分析；分層次教學；教學改革

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）46-0118-02

隨著大學本科教育由精英教育向大眾化教育的轉變，各高校招生規模的擴大以及各地區教育發展的不平衡，學生間的水平差異相對加大，學習困難的學生人數相對增多，兩極分化現象日益嚴重。傳統課程教育所采用的三個統一的教學模式，即教學大綱、教材、考核方式統一，不能充分照顧學生的個體差異，使得基礎好的學生可能吃不飽，基礎較差的學生可能跟不上。一個班里的學生基礎相差較大時，這種“吃不飽”和“消化不了”的學生就比較多，不利于教學質量的提高。數值分析課程是綜合性大學數學專業的一門核心基礎課程，它既有數學課程理論上的抽象性和嚴謹性，又有解決實際問題的實用性。數值分析課程內在知識結構及理論系統性，決定了該課程教學應該遵循可接受性原則。在數值分析知識鏈條中，不掌握前面基礎知識和數值算法，就難以接受后面知識和算法。要解決學生數學基礎和計算機應用基礎差異大的問題，就必須實施分層次教學。所謂的數值分析分層次教學，即在原有的師資力量和學生水平的條件下，通過分層次教學，充分承認學生間的個體差異以及考慮各層次人才數學素質的要求，引導學生朝著自己感興趣和能發揮其優勢的方向發展，讓優秀人才更快更好地成長。近年來分層次教學改革模式的研究與實踐已被國內不少學者了解和重視。其中，有從宏觀方面進行分析論證的[1]，也有從微觀方面針對某些學科和課程進行研究的[2-5]。然而，針對數值分析這門課程進行分層次教學改革研究的比較少。本文在結合作者近兩三年來的教學經驗基礎上，針對該課程的教學特點，提出了對該課程實施分層次教學改革的一些積極探索。

一、數值分析課程的特點

數值分析是一門與計算機密切結合、實用性很強的數學課基礎課程，它主要研究運用計算機解決數學問題的方法及其理論。總的來說，這門課程具有以下幾個特點：

1.課程知識面跨度大。數值分析課程內容豐富，知識面跨度大。內容包括數值逼近、數值積分、線性方程組的直接解法和迭代解法、非線性方程組的數值解法、矩陣特征值問題的數值解法、常微分方程初值問題的數值解法等，知識面涉及數學分析、高等代數、微分方程等眾多課程的重要知識理論。學生必須在掌握好這幾門課程基本內容的基礎上才能更好地學習數值分析。

2.注重理論知識與實際應用的結合。數值分析課程與其他數學基礎課程強調理論分析和邏輯推理不同，數值分析課程更注重利用這些理論，構造適合計算機運行的數值方法去解決工程實際中抽象出來的數學問題。

3.特別強調上機實踐。數值分析主要研究那些在理論上有解但手工求解計算量很大，必須借助計算機求解的數學問題或者實際工程問題抽象出來的不需要精確解的數學模型。它的許多理論及數值計算方法本身并不是數學學科的產物，而是以工程應用為背景、以“計算”為目標發展起來的。因此，在本課程的教學過程中，特別強調上機實踐。

二、具體實施數值分析課程分層次教學的幾點建議

1.學生主體層次化的劃分。分層次教學是以學生主體的層次化為基礎。學生層次的劃分，可以參考學生高等代數和數學分析的學習成績、學習態度、學習能力和學習興趣等實際狀況來制定。在指導教師的幫助下，通過學生自選和學院篩選，將學生分為基礎班和遞進班。但應強調的是，這樣的分層是暫時的、流動的。經過一個月或者半學期時間的觀察，根據學生學習能力的變化或學生的具體情況，可以做出相應調整，以達到鼓勵學生的學習積極性和主動性的目的，同時也能避免引起學生情緒的波動。

2.教學大綱的層次化模式。分清學生主體的層次后，應根據不同層次學生的特點，在滿足信息與計算科學和數學與應用數學專業學生培養方案要求的前提下，制定不同層次授課的教學大綱。基礎班理論課的教學大綱側重于基礎理論知識的掌握及算法能力的培養，在學時分配上側重于各類數值算法的工程背景及具體應用，如線性方程組求解理論的工程應用，函數插值及函數逼近等算法在經濟學和數學建模中的應用等。基礎班實驗課的教學環節注重學生對基礎實驗的掌握和各種數值算法的運用能力。遞進班理論課的教學大綱在學時分配上側重于數值算法的收斂性及穩定性等，如解線性方程組迭代法的收斂性證明和誤差估計、各種插值算法的誤差估計理論、數值積分中的外推原理等理論性較強的教學環節，各章節理論的應用部分主要采用自學或大作業的方式，實踐環節主要引導學生開展綜合性、設計性實驗，并吸收學生參加教師的科研項目，以培養學生的研究能力和創新能力。

3.實驗課教學的層次化模式。數值分析實驗課程也應進行相應的分層次教學模式，以滿足學生個性化發展的需求。可以將實驗分成三個層次：基礎訓練性實驗、綜合設計性實驗和創新研究性實驗。基礎性實驗即對各類數值算法的驗證性實驗和基本的算法應用性實驗，側重于對數值分析基本知識、基本算法的訓練。綜合性設計性實驗是各種數值計算方法和手段的綜合應用訓練，側重于培養學生知識綜合能力和分析解決問題的能力。創新研究性實驗，即對研究過程和研究方法進行推廣，以解決工程應用中的實際模型而設立的實驗，側重于培養學生的科學研究能力和創新能力。

4.課外作業分層次。數值分析課程課外作業布置的原則是兼顧學困生和優等生，使學困生“吃得了”，優等生“吃得飽”。對基礎班的課后作業，只要求完成劃定的基礎練習題，針對各章的重要數值算法，布置相應的課后作業。對遞進班學生，不僅要完成基本訓練題，還要完成專門制定的有代表性、變形的習題和各章的重點思考題。同時在數值分析課程網頁上發布一些課程難題，供學有余力的學生思考，鼓勵學生發揮他們的潛能。也可以嘗試布置不同形式的課后作業。例如對于基礎班的學生，可以布置關于教材的比較報告。老師選定幾本具有代表性的教材，要求學生根據選定教材中的某一章，通過閱讀進行分析對比，寫出總結報告。通過這種類型的課后作業的布置可以培養數學基礎稍差學生的自學能力、分析問題和解決問題的能力，逐漸培養他們學習數值分析課程的興趣，同時可以深化學生對課程內容的理解和掌握。對于遞進班的學生，可以讓其以小論文的形式提交課后作業。精選一些重要數值算法，由教師提供具有工程應用背景的小案例，讓學生運用所學到的方法構建數學模型，進行數值求解，并上機實驗得出數據，進而寫出小論文。這種教學方式既可以提高學生自主學習的能力和創新能力，又能考核學生掌握知識的能力、歸納總結能力和文字表達能力。

三、分層次教學實施過程中應注意的問題

1.教師應該充分理解分層次教學的意義，注重教育資源的公平分配。在關注各層次學生學習狀況時更應該注意關心學習能力較差的學生，可以在每周的固定時間固定地點安排答疑，或者利用雙休日安排專門課時為這些學生補課，幫助他們克服數值分析學習中的障礙，促進他們取得數值分析學習的進步，進一步減少不及格率。

2.數值分析分層次教學應該注意制定不同的評估考核標準。因為學生在學習的過程中，所處的層次不同，對學習付出的精力也是不同的。對于不同層次的學生，相應的考核成績所對應的總評成績應該有所差異。對此可以制定出不同難易程度的試卷，對于基礎班學生的考核，應該重點考查其基礎知識的掌握情況，而對遞進班學生則要考查其對各種數值算法的綜合理解能力及其分析應用能力。通過分層次考核方式，對不同層次的學生予以合理的綜合評估。

3.有針對性地加強師資隊伍建設。分層次教學的原則是因材施教，因此對教師的要求更高，工作量也更大。可以安排青年教師學習國內高校其他學科或課程分層次教學的成果經驗，并開展一系列針對分層次教學的教研活動。擔任各層次教學的教師要充分了解和熟練掌握相關層次教學方法手段，大膽嘗試新的教學方法和手段，充分調動學生學習數值分析課程的積極性和主動性，充分發揮分層次教學的效果。

數值分析作為大學信息與計算科學和數學與應用數學專業的一門重要基礎課程，目前國內很多學者也對該課程的教學改革進行了很多積極有效的改革探索[6，7]。然而，針對這門課程進行分層次教學模式的研究較少。本文針對數值分析課程的特點，對該課程進行分層次教學進行了一些有益的探索，提出了一些具體實施建議和實施過程中應該注意的幾點問題。當然，在具體實施分層次教學過程中還會碰到很多現實的困難，需要在實施試點班改革的基礎上，不斷完善學生主體層次標準劃分的指標體系和教學管理體制，以真正達到分層次因材施教的目的。

參考文獻：

[1]于希山.分層次教學模式的研究與實踐[D].大連：遼寧師范大學，碩士學位論文，2005.

[2]包立平，高文斌.高等數學分層次教學模式的探索[J].杭州電子科技大學（社會科學版），2009，5（3）：57-60.

[3]陳萍.概率與統計分層次教學的實踐與認識[J].江蘇省現場統計研究會第九次年會論文集，2004.

[4]張培紅，王曉華.流體力學課程分層次教學模式研究[J].沈陽建筑大學學報（社會科學版），2007，9（2）：238-240.

[5]邢培旭.線性代數課程分層次教學研究初探[J].輕工科技，2012，（11）：171-172.

[6]萬中，韓旭里.《數值分析》課程教學的新認識及改革實踐[J].數學教育學報，2008，17（2）：65-66.

[7]閔杰，李義寶，高校《數值分析》課程組合式教學方法探索研究[J].高教論壇，2010，6（6）：72-74.

基金項目：中國電子教育學會教學研究項目（ZDJ11214，ZDJ11213）；廣西高等教育教學改革工程項目（2013JGA142）

作者簡介：李姣芬（1984-），男，湖南湘潭人，副教授，博士，主要從事數學教學與科研研究。