論狹義相對論的分析方法

摘要：本文重新定義了參考系，即使用統(tǒng)一的時間參量和統(tǒng)一的空間坐標來描述事物運動，并提出了參考系對的定義，即由兩個參考系分別描述同一運動。考慮到相對論的重點是關(guān)于兩個參考系分別描述同一運動，我們試圖通過利用光速不變等假設(shè)由坐標變換建立微分方程，給出一種能夠嚴格求解lorentz變換的全新的方法。并從該公式出發(fā)利用不等式分析嚴謹?shù)刈C明了最大速率約束，結(jié)合一些相對論的悖論與前人的觀點，我們從參考系對的定義出發(fā)給出了慣性系對的概念。

關(guān)鍵詞：參考系對；慣性系對；通解坐標變換；最大速率約束；絕對速率

中圖分類號：O412.1 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）38-0170-03

目前對于狹義相對論中l(wèi)orentz變換的推導一般都是先建立尺縮和鐘慢等概念，然后利用光速不變假設(shè)和坐標變換為線性變換的假設(shè)列出方程，求解系數(shù)，從而得到lorentz變換[1]。其實這種方法并非十分嚴謹。因此，我們試圖通過找到一種更嚴謹?shù)耐茖Х椒▉斫鉀Q這些理論上的細節(jié)問題。任何理論必須建立在公理上，但是，實際上我們是不可能一上來就知道怎樣的公理才是我們所需要的。問題的突破在于求解過程的創(chuàng)新。考慮在一維情形下，直接假設(shè)坐標變換是任意的兩個函數(shù)，然后求全微分再相除得到速度變換，再使用光速不變的假設(shè)，得到了一個微分方程。考慮到相對于參考系靜止的物體在另一個參考系看來就是以兩個參考系之間的相對速度運動這個特點又可以得到兩個微分方程。求這三個微分方程時使用了數(shù)學分析中的格林定理的一個變形的結(jié)論，即存在一個函數(shù)F可以將坐標變換的兩個函數(shù)聯(lián)系起來。重寫了微分方程的表達式后很驚奇地發(fā)現(xiàn)了微分方程竟具有波動方程的形式，考慮到時空是無界的，于是聯(lián)系到用行波法求解微分方程，將另外的一個方程看成初始條件，成功得到了通解。通解和原來的lorentz變換形式上很接近了，但是所有的可用的條件都用完了，仍然只能得到通解。為了可以求解系數(shù)，最終發(fā)現(xiàn)我們只能讓ds為不變量這條性質(zhì)從定理的地位上升到公理才行，進一步地分析表明，這與參考系的全同性有著直接的關(guān)系。通過對推導過程的分析，我們提出了參考系的嚴格的定義和參考系對的概念。參考系的嚴格定義將參考系從觀察者觀看的形象的認識變成了抽象的認識，同時參考系對的提出更好地凸顯出了相對性。

一、狹義相對論相關(guān)概念

1.參考系。參考系的定義：使用統(tǒng)一的時間參量和統(tǒng)一的空間坐標來描述事物運動。雖然參考系是具有統(tǒng)一的時間參量和空間坐標的，但是兩個參考系之間卻不一定共有統(tǒng)一的時間參量和空間坐標。參考系提供一個用來量化描述運動的一個方法。只有建立參考系才能談得上測量距離和時間，否則將會導致描述的混亂。

2.參考系對與慣性系對。參考系對的定義：由兩個參考系分別描述同一運動，而兩個參考系之間存在相對速度（如果沒有，那么就退化成了一個參考系）。對于慣性系，有些的物理學家提出將自由空間中相對于無窮遠的恒星靜止的坐標系當作慣性系[2]，但這其實就是認為存在一種具有更高的權(quán)限的參考系。絕對時空觀的本質(zhì)就是參考系的不平權(quán)，而相對性的本質(zhì)就是要求參考系的平權(quán)。愛因斯坦本人其實也是認為并不存在所謂的慣性系[3]，但是他沒有很明確地給出否定，取而代之的是發(fā)展出一套廣義相對論來試圖說明是沒有必要定義慣性系。問題的關(guān)鍵在于相對性的體現(xiàn)是需要對比的。當我們提出慣性系的情形時，常識上我們習慣性地將某種默認情形作為了基準。這種默認的基準常常被人們所忽略，而參考系對的意義在于將這種默認的基準也放入考慮的范圍，從而更加有力地體現(xiàn)出相對性，即兩個參考系之間的關(guān)系。相對論的實質(zhì)就是在參考系對中的物體的運動。主張恢復絕對時空觀的人實際上沒有意識到參考系對與參考系的區(qū)別[4]。由于伽利略變換在表達上正好可以使得參考系描述的運動和參考系對描述的運動一致，這樣就使得人們在過去忽視了參考系對的概念。為了把經(jīng)常使用的慣性系放到參考系對的層面上去，我們可以定義慣性系對，即由兩個參考系組成的參考系對，它們之間的相對速度為常數(shù)，分別描述同一運動。相應的，如何描述相對速度？由于時間參量和空間參量只對于一個參考系有意義，因而我們必須約定以一個參考系為標準來衡量這個相對速度的變化，稱作為的基準的參考系為靜系，而另一個參考系為動系。當相對速度不為常數(shù)時，可能會存在非零的速度一階導數(shù)，也就是加速度，所以在非慣性系對之間按照牛頓第二定律會存在慣性力。

二、洛倫茲變換推導

1.狹義相對論的公理。凡是嚴謹?shù)睦碚摱急仨毥⒃趪栏竦募僭O(shè)和推導的基礎(chǔ)之上。為了能夠嚴謹?shù)耐茖С鱿鄬φ摰膌orentz變換，這里提出五個假設(shè)：①基礎(chǔ)運動假設(shè)：在任何一個參考系的時空中的任何運動都是連續(xù)的（物體的位置連續(xù)變化，由此只能約定參考系的空間坐標是連續(xù)的），而且任何運動在任何時刻速度都是有限的實數(shù)（由此我們只能約定參考系標定運動的時間參量也是連續(xù)的）。

②光速不變假設(shè)：在慣性系對之間的速度變換中，光速保持大小和方向不變。③相對靜止存在假設(shè)：對于任何一個參考系都存在某種運動使得處于這種運動的物體能夠相對于參考系靜止。關(guān)于這條假設(shè)，一般會認為是多余的，因為如果參考系都是基于物體的運動，那么必然被基于的物體就必然是和該參考系相對靜止的。這里我們提出這條假設(shè)是希望將參考系和物體運動在理論上嚴格的區(qū)分，使參考系擺脫基于某種物體的形象的認識，變成只依賴于定義的抽象的認識。由這條假設(shè)再結(jié)合第一條假設(shè)我們可以知道參考系對之間的相對速度也必須為實數(shù)。這里面存在一個問題是如果基于光子建立參考系，之后我們將會發(fā)現(xiàn)在求解微分方程上將會產(chǎn)生一種質(zhì)變，本文將不討論這種情況下的求解。④參考系互逆假設(shè)：對于兩個參考系，它們之間的變換關(guān)系經(jīng)過一正一逆兩次變換后的結(jié)果要與原來的時空坐標值相等。這是很顯然的，任何時空變換都必須基于這條性質(zhì)，否則會產(chǎn)生許多邏輯悖論。⑤時空不變量存在假設(shè)：對于任何參考系對都存在時空不變量ds（一維情形下定義為）。有人會說時空不變量是lorentz變換所推出來的必然的結(jié)論，怎么能夠作為假設(shè)呢？在后面我們可以從方程的解中看到，符合前四條的假設(shè)并非只有l(wèi)orentz變換一種。只有加入這條假設(shè)才能夠確定解微分方程所產(chǎn)生的常數(shù)，推出lorentz變換。

2.一維無界空間的lorentz變換。考慮一個一維慣性系對S和S'，設(shè)同一個物體，在S系中時空坐標為（x，t），在S'中時空坐標為（x'，t'）。約定S與S'系的單位制統(tǒng)一，以方便相對速度和光速不變的描述。當S'系相對于S系沿x軸以速度v運動（注意這時的v是以S系為標準來衡量的），S系是相對于S'系沿x'軸以速度-v運動（注意此時的-v是以S'系為標準來衡量的）。某一運動的物體從在S系中的時空坐標（x，t）到S'系中的時空坐標（x'，t'）的坐標變換公式設(shè)為x'=f（x，t） （1） t'=g（x，t） （2） 由基礎(chǔ)運動假設(shè)知道f（x，t）與g（x，t）必須可微，則dx'=f■'dx+f■'dtdt'=g■'dx+g■'dt兩式上下相除得到

■=■=■設(shè)在S系中物體的速度為u，在S'系中此物體速度為u'，u'=■ （3）

考慮此時的光速不變假設(shè)，由于是一維無界空間，因而運動方向只可能有兩種可能，我們假設(shè)在沿著S系正方向上光速不變（后面將會證明在另一個方向上也是光速不變的）。考慮運動物體是光子，那么當光子向某一個方向以光速運動時，兩個參考系分別描述光子運動的速度都是光速。即當u=c時，u'=c帶入方程中得到c2gx'+cgt'=cfx'+ft' （4）

光速不變假設(shè)是總成立的，與空間位置和時間參量大小無關(guān)，因而對于S系和S'系，光子運動到任意一點時均有此公式成立。

由相對靜止存在假設(shè)當u=0時，u'=-v帶入得到 ft'+vgt'=0 （5） 這個公式是恒成立式。，當u'=0時，u=v帶入得到fx'v+ft'=0 （6） 這個公式也是恒成立式。由（5）、（6）式得到了一個重要的關(guān)系fx'=gt' （7）事實上u=-c，u'=-c代入也是滿足方程的c2gx'+cfx'=ft'+cgt'，代入fx'+gt'，正好得到c2gx'+cgt'=cfx'+ft'，因而在S系負方向上也是滿足光速不變的。由數(shù)學分析理論知道，存在一個二元函數(shù)F（x，t）使得f=■ （8） g=■ （9） 稱函數(shù)F為時空函數(shù)。帶入①②③中得到方程組■=■·■（10）■+■·■=0 （11），由于f（x，t）和g（x，t）可微，因而必然有 ■=■ （12） 下面我們來解這個方程■=■·■， ■+■·■=0由于對于得出的任何形式的坐標變換公式都必須要存在一個函數(shù)F，且滿足上面的方程組。我們假設(shè)有多對參考系對，從形式上來看，這些參考系對都共同滿足第一個方程，而之后的一個方程和其兩個參考系之間的相對速度有關(guān)。因此，我們可以認為對于函數(shù)F第一個方程總是成立的，因而這個方程反映了函數(shù)F的基本性質(zhì)，而后面的一個方程其實是涉及具體的參考系對時帶入相對速度作為條件補充進來的，因而這個方程應當視為微分方程問題的初始條件。由于空間的無界，顯然該微分方程沒有邊界條件。考慮到這是一個沒有邊界條件只有初始條件的微分方程，那么很自然地，我們會想到行波法來解這個微分方程。設(shè)函數(shù)F=φ（x+at）+？漬（x-at） （13） 帶入微分方程和初始條件中去φ''（x+at）+？漬''（x-at）=■·[a2φ''（x+at）+a2？漬''（x-at）]顯然

a=c■

φ''（x+ct）=■·？漬''（x-ct）那么，這個方程我們可以看到左邊的自變量是x+ct而右邊的自變量是x-ct，要想要兩個方程相等，最簡單的辦法就是設(shè)兩邊都等于常數(shù)。

設(shè)φ''（x+ct）=■·？漬''（x-ct）=k （14），我們假設(shè) v≠c，則k≠0（v=c時解微分方程的過程將于后面完全不同，故在本文先暫不考慮）

則φ（x+ct）=■k（x+ct）2+a1（x+ct）+b1=a（x+ct）2+a1（x+ct）+b1（15） φ（x-ct）=■k■（x-ct）2+a2■（x-ct）+b2■=a·■（x-ct）2+a2■（x-ct）+b2■ （16）

因此，就得到了一個函數(shù)F的解。其中a，a1，b1，a2，b2為常數(shù)，由之前提出來的公式f=■g=■求出f和g f=a2c（x+ct）-■2c（x-ct）+a=a■t-■x+a（17） g=a2（x+ct）-■2（x-ct）+b=a■x-■t+b （18）

其中a，b為常數(shù)，注意a，b可能為與v相關(guān)的，但是由于參考系對的v是確定的常數(shù)，因而它們?nèi)匀皇浅?shù)。因而從S系時空坐標（x，t）到S'系時空坐標（x'，t'）的坐標變換公式為x'=a■t-■x+a （19）

t'=a■x-■t+b （20）

常數(shù)a，b的存在實際上是由于參考系原點的選取的任意性而產(chǎn)生的。在后面的討論中為了方便，我們?nèi)=0，b=0，即x=0，t=0與x'=0，t'=0重合，出于嚴謹，我們考慮a是一個與v有關(guān)的系數(shù)x'=a（v）■t-■x （21）

t'=a（v）■x-■t （22）

我們稱這個式子為通解坐標變換公式。由對稱性可以知道從S'系時空坐標（x'，t'）到S系時空坐標（x，t）的坐標變換公式，只用把上面的方程組中的v都換成-v，x和x'互換，t和t'互換即可。

x=a（-v）■t'-■x'=a（-v）■t'-■x'，t=a（-v）■x'-■t'=a（-v）■x'-■t'

考慮到參考系互逆假設(shè)，變換關(guān)系要滿足經(jīng)過一正一逆兩次變換后的結(jié)果要與原來的時空坐標值相等，將x'和t'利用坐標變換公式全部換成x與t，得到x=a（v）·■a（v）■x-■t+■a（v）■t-■xx=

a（v）a（-v）■x=16a（v）a（-v）c2x

t=a（v）·

■a（v）■t-■x+■a（v）■x-■tt=a（v）·

a（-v）■t=16a（v）a（-v）c■t，

由此：16a（v）a（-v）c2=1 （23）

考慮時空不變量ds存在假設(shè)x'=a（v）■t-■x，t'=a（v）■x-■t，ds2=dx2-c2dt2

ds'2=dx'2-c2dt'2=a2（v）■dt-■dx2-a2（v）c2·■dx-■dt2ds'2=a2（v）·

■dt+■dx■-■dx■-■dt■

ds'2=a2（v）■（dx2-c2dt2）=a2（v）■ds2，由ds2=ds'2得到a（v）=±■。當 a（v）=-■時，代入之前的式子中得到

x'=■t'=■， 即lorentz變換。當a（v）=■時x'=■，t'=■考慮到物體的長度和時間間隔只能取正值而上面的變換中尺縮為△x'=■，鐘慢為△t'=■，與之違背，故舍棄。因此，我們得到了lorentz變換的嚴格推導。

3.對于一維無界空間的通解坐標變換的系數(shù)的求解的討論。由于僅有光速不變只能推出通解坐標變換，因而僅有光速不變是得不出時空不變量存在的。實際上，采用另外一種假設(shè)也可以得到a（v）的確定，如下：參考系全同性假設(shè)：在兩個參考系中描述的尺縮的程度和鐘慢的程度相同。x1'=a（v）■t■-■x■x■'=a（v）■t2-■x2當t1=t2時，△x'=x■'-x■'=-a（v）■（x■-x■）=-a（v）■△x （24） 同理△x=-a（v）■△x' （25）令△x'=-a（v）■△x中的△x=1，得到△x'=-a（v）■，因而其表示單位長度的尺縮程度。也可以定義尺縮率為η1=■=-a（v）■，兩個參考系全同，則兩個參考系的尺縮率相同。類似的也可以定義鐘慢率η2=■=-a（v）■

同樣令△x=a（-v）■△x'中的△x'=1，得到△x=a（-v）·■由假設(shè)知道-a（v）■=a（-v）■ （26）又由16a（v）·a（-v）c2=1可以解得a（v）=-■

而得到了a（v）的具體形式也必然就可以代入驗證時空不變量是存在。因此，反過來這說明時空不變量存在假設(shè)和參考系全同性假設(shè)在前四條假設(shè)成立的前提下是等價的。尺縮率和鐘慢率實際上總是相同的，即總有η1=η2，這體現(xiàn)出了時間和空間的維度平權(quán)性，而這種維度平權(quán)性直接導致了坐標變換公式上的對稱性，再結(jié)合參考系互逆假設(shè)，則可以得到參考系的全同性。有一種想法[5]認為時間和空間的屬性來自于人的認知，而其本質(zhì)上都是相同的維度。回顧先前我們提出的F時空函數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)η1=■，η2=■，顯然F時空函數(shù)體現(xiàn)出了時間和空間維度平權(quán)特性，尺縮率和鐘慢率相等是一種必然。

4.一維無界空間的通解速度變換公式。這里我們將討論通解坐標變換下的速度變換公式。由之前的討論知道，通解坐標變換其實可以滿足前四個假設(shè)。速度變換公式x'=a（v）■t■-■x■，t'=a（v）■x■-■t對其兩邊均作全微分，得到dx'=a（v）·■dt■-■dx■，dt'=a（v）■dx■-■dt■于是得到速度變換公式為：u'=■=■=■=■ （27）注意這個式子化簡后沒有待定項a（v），也就表明這個式子對于所有的通解是恒成立的同理u=■=■=■=■

5.一維無界空間的最大速率約束。下面我們將要證明為什么在一維無界空間物體的運動速率不能超過光速。顯然我們不能直接因為■根號內(nèi)的值要大于0來證明不能超光速。因為在求這個系數(shù)時，必須是假定v小于等于光速才能夠開根號，為了不陷入循環(huán)論證，我們只能從通解速度變換出發(fā)去論證為什么不能超光速（至于等于光速的情形，本文將不考慮）。在兩個參考系分別描述某一運動，若運動速率是相同的值，則將這種速率稱之為絕對速率，在本文所討論的即是光速值。最大速率約束表述如下：在一維無界空間有且只有一個絕對速率，且其內(nèi)的一切運動都以此絕對速率為最大速率。從之前的推導我們可以發(fā)現(xiàn)，如果存在兩個絕對速率那么必然之前建立關(guān)于函數(shù)F的方程時，我們會得到兩個波動方程，這樣對于行波解而言a必須要同時等于兩個值，這是不可能的，因而會導致方程無解。因此有且只有一個絕對速率。以下證明即便在通解坐標變換的情形下速率也不能超過該絕對速率。證明如下：給定參考系對相對速度v，由于v和u'均是實數(shù)，可以假定v=u'+k，其中k為某一個實數(shù)，代入u'=■得到：u'+（k-2■）u'+（1-■）c2=0由于必須要保證速度值為實數(shù)，因此要有△=k2+4■-4c2>0，當k<2c時，u<■，當k>2c時，上式恒成立，我們知道上式對于任意的k都恒成立。因而必須要滿足最低要求，即取交集，得u<■，而■>■=c因此uu>-c時，u'>-c。當u=0時，u'=-v，由u

我們利用參考系對的概念，并結(jié)合本文提出來的新的狹義相對論公理，嚴格推導出了一維無界空間的lorentz變換，并嚴格推導出了一維無界空間的最大速率約束。后面，我們會繼續(xù)探討相對速度等于光速的參考系對和在更高維度的時空中的lorentz變換。同時在數(shù)學上討論各種形狀的有界時空中l(wèi)orentz變換。盡管這樣看上去有些脫離物理實際，但是我們更希望能在數(shù)學上去研究這些變換的存在性，或許可以由對它們的討論找出時空隱藏的性質(zhì)。

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基金項目：國家自然科學基金（批準號：11173011）資助的課題