在把握基本思想中設計學習活動

作者簡介：

北京教育學院初等教育系講師，從事小學數學教師培訓工作，畢業于北京師范大學教育學院，教育學碩士，目前在職攻讀博士學位。先后在刊物上發表論文十余篇。

當前老師上課時最怕孩子說的不是“不知道”，而是“我知道”。在“我知道”的狀態下，本該活躍的“探究性”課堂成了效率低下的走過場。也許孩子“知道”的更多是結果而缺少過程，但是我們也不能夠忽視甚至漠視孩子的“我知道”，避免把孩子已經知道的結果生拉硬拽回認知的起點，我們更應該深刻挖掘在“我知道”的背后，還有哪些孩子不知道的東西，并以此為生長點，真正激發孩子的學習興趣。在一次培訓活動中，組內老師選擇“分數基本性質”一課作為研究課的內容，在研磨本課的過程中，同樣遭遇了“我知道”的尷尬，本文將在分析“分數基本性質”核心思想的基礎上，探討如何設計有價值的學習活動。

一、對初上探究課為何這般無趣的困惑

在上課之前，通過對教材的分析發現，盡管不同版本教材在活動的設計上略有不同，但卻經歷了基本相同的學習路徑，尋找相等分數——觀察分子、分母的變化——概括總結規律——溝通與商不變性質的聯系——鞏固與應用分數的基本性質。教師也查閱了大量的文獻和教學設計，同樣發現，這些教學設計整體看來，都是在遵循觀察、猜想、驗證、發現、概括等一系列探索問題的基本過程。在此基礎上教師也作了課堂安排。環節一：觀察下面一組分數，猜一猜哪些分數的大小相等？環節二：用分數表示出涂色部分，通過觀察驗證你的發現并進行小組交流。環節三：全班匯報交流，這幾個分數為什么相等，有什么變化規律，你試著說明？并舉例以完善結論。環節四：運用“分數基本性質”尋找相等的分數。課堂上發現學生在教師設定的情境中按部就班地“猜想”，然后被教師“逼著”去驗證分數相等，接著就是理所當然的觀察、發現規律、得出結論及應用，一切都是那么的順暢、自然，教師的“引導”及時到位，學生的“探究”毫不費力。然而一堂課下來，絲毫沒有感覺到課堂“探究”的活力，十幾分鐘的探究活動似乎是在表演，不時有學生小聲說“我早就知道了”……

上完課后，教師茫然了，“分數基本性質”的課真的只能這般缺乏活力嗎？忙了半天，只不過是上了一節商不變性質的復習課，對于這樣的課，是否有新的教學思路呢？

二、對“分數基本性質”的重新審視

為改變這種“無狀態”課的現狀，對“分數基本性質”這一內容進行了重新審視。

（一）分數基本性質“承上啟下”了什么？

大家在教學設計中幾乎都會寫到這樣一句話“分數基本性質”是一堂“承上啟下”的課，那么“上”承的是什么而“下”啟的又是什么呢？從下表中可以看到“分數基本性質”這一內容在整個分數學習中的位置：

從表中可以看出，對于分數知識，學生在三年級時就有過接觸，對分數有了基本的了解。在此基礎上，五年級學習分數意義、性質及應用，這為今后應用分數知識解決系列的實際問題做了鋪墊。之所以說“分數基本性質”是“承上啟下”的，主要體現在：

1.承上。聯系分數與除法的關系，分數基本性質與商不變規律，事實上是用不同的形式表達相同的數量關系；分數的基本性質有助于學生對分數意義的進一步理解，加深對“單位1”的認識，在分子分母變化的同時，不變的是“單位1”，換句話說，在“單位1”不變的情況下，要想保證分數的大小不變，分子和分母要同倍變化。

2.啟下。且不說分數基本性質與后續要學習的“比的基本性質”之間的關系，單從分數這一內容來說，分數的基本性質是通分和約分的理論依據，根據分數的基本性質，我們能夠解決分數單位的換算問題，統一分數單位，使得異分母分數能夠進行加減運算。

正是因為“分數基本性質”與前后內容之間這種千絲萬縷的聯系，使得“分數基本性質”成為了分數概念學習網絡中的重要環節。

（二）“分數基本性質”承上啟下的核心在于“分數單位”

“分數單位”作為分數的計數單位，它是所有后續知識、技能的基礎，包括分數的意義、分數的基本性質，分數的大小比較、約分、通分，分數的加減法、乘除法以及實際問題的解決。事實上，在數學發展史上，發現新的計數單位始終是數的發展的一條主線。因此，“分數單位”是一個相當基本和重要的概念，絕不可以忽視。人們認識分數，首先都是從認識分數單位開始的。正是因為分數單位發生了變化，為了讓異分母分數能夠相加減，才需要運用分數基本性質統一分數單位，使得運算能夠繼續下去。

（三）尋找“等值分數”的前提是保證“量的守恒”

“分數基本性質”的應用是為了尋找“等值分數”，所謂等值分數是指兩個分數的分子和分母的數字雖不相同，但是大小相等。“等值”的特性就是分數的名稱、分子和分母改變了，但其本質不會改變，即不會改變量的大小。分數單位形成的能力會影響學生的等值分數概念，學生能否在圖形中找到適當的分數單位，將原來小的分數單位重新化聚，再利用找到的這個分數單位組成全部的圖形，是學生解等值分數問題的關鍵。

這種“分數單位形成能力”是以兒童的“守恒”能力發展為前提的。“守恒”是皮亞杰理論中的一個重要術語，指物體的形式（主要是外部特征）起了變化，但是個體認識到物體的量（或內部性質）并未改變。之所以當分數單位發生變化，分數大小還能保持不變，就是因為分數單位變小了，分的份數多了，單位的個數也多了，如果兒童不能夠認識到這一點，則無法真正理解“等值分數”和“分數基本性質”的內涵。正如有研究者（NikPa）指出，五年級學生雖然能判定當一個分數的分母是另一個分母的倍數或是因數時兩個分數是等值，但是卻無法解釋其意義。因此，幫助學生深刻理解依靠兩個量之間關系的變化以保證“量的守恒”是非常必要的。

三、對“分數基本性質”一課再思考

在分析了“分數基本性質”的核心價值及其內涵后，我們對設計什么樣的活動有了新的思考：

（一）聚焦分數單位，在“度量”中尋找等值分數

劉加霞教授指出，基于度量的需要，數（shǔ）分數單位的“個數”從而得到分數體現出分數是個“數（shù）”（度量數）的意義。沿襲自然數的“傳統”，分數的兩個關鍵要素就是“分數單位”和“單位個數”，即分數單位的“分母”是平均分的“份數”，分子是“1”，其他分數的“分子”就是“分數單位”的“個數”。基于此，從探尋分數單位及其個數之間變化關系的角度來認識分數基本性質，至少有如下幾方面的好處：

首先，再次鞏固了學生對分數單位的認識，盡管不同版本教材的處理略有不同，但在五年級“分數的意義”這一單元，都講到了“分數單位”，鑒于前述對“分數單位”重要性的分析，在“分數基本性質”這一課中再次聚焦“分數單位”，以分數單位及其個數為主線來尋找等值分數，是對之前學習內容的進一步鞏固。

其次，加深學生對“分數是個數（shù）”（即作為量的分數）的理解，提升分數作為“代數概念”的價值。有人把分數稱為“高通達力”的概念，之所以如此，是因為分數是一個“代數概念”（弗賴登塔爾在《作為教育任務的數學》一書中，多次談到“分數是個代數概念”），從這個意義上來說，分數還可以表示一個“結果”，而不僅僅表示“過程”。一直以來，在學生的心目中都不愿意承認“分數是個數（shù）”，而更愿意把其理解為“率”，一旦某個計算結果以分數的形式出現，學生往往認為沒有“算完”，更希望將其化為小數來表示。通過找到不同的分數單位，再數（shǔ）出其個數，并用結果來比較大小的過程，能夠使得學生進一步認可作為量的分數的概念。

第三，將分數置于“度量”范圍之下去理解，為學生今后理解通分、約分及異分母分數加減法進行鋪墊。根據學生以往的“度量”經驗，只有相同單位才能直接相加減，例如“1米”加上“1厘米”是絕不可能等于“2米”或“2厘米”的，但是在計算異分母分數加減法時，學生往往理解“在計算同分母分數加減法的時候，分母不變，分子相加減。現在分子相同，我猜測是不是也要不變，而將分母相加。”當教師引導學生往“分數單位”上去想的時候，學生馬上意識到“應該先讓分數單位相同”。由此可見，在“分數基本性質”教學中，如果能夠以“分數單位”為主線，通過“度量”去尋找等值分數將為后續理解通分、約分及分數基本性質的應用奠定基礎。

（二）以“彩色紙條”為操作材料，開展學習活動

可以看出，在這里，不論分數墻還是色彩組合棒都起到了相同的作用，就是讓學生在操作活動中，通過對分數單位個數的累加，直觀地尋找等值分數。為了體現出分數單位在尋找等值分數中的作用和變化，同時考慮到彩色紙條操作起來更加靈活，可以裁剪下來任意拼擺，我們選擇用彩色紙條代替色彩組合棒，讓學生在操作的過程中，找到不同顏色紙條之間的長度關系，充分體會在總長度相等的情況下，每一種顏色的小紙條長度變了，拼擺時的數量也會發生相應的變化。

（三）通過制造“相等分數”，積累數學活動經驗

通過前述的思考，在第二次教學設計時，我們選擇利用彩色紙條來幫助學生尋找等值分數（每套紙條一共有10種顏色，除紅色代表“1”外，其余顏色的紙條分別被平均分成2份、3份……10份，提供給學生的紙條沒有剪開，但是在活動時允許學生可以根據需要進行折或裁剪），每組4～5人，共用一套彩色紙條，之后再讓學生通過觀察這些等值分數，總結歸納出分數的基本性質。在教學中發現，學生對利用彩色紙條尋找等值分數的活動非常感興趣，還有不少學生利用不同顏色紙條的拼擺，組合出了更多的相等分數。

因為本課的任務是研究“分數基本性質”而不是分數加減法，因此在上課時，教師并沒有給發現上述情況的學生以展示的機會，只讓那些每行都用相同顏色紙條拼擺的學生匯報交流。交流之后教師把學生發現的相等分數記錄在黑板上，開始討論“這些分數的分子分母是如何變化的？”由此總結出分數的基本性質，但是因為不少學生從一開始就用不同的紙條盲目拼擺，沒有思考“用相同紙條拼擺”的問題，在歸納分數的基本性質時，這些學生的思維并沒有得到剛才操作的支撐，而發現等值分數的學生往往直接拿著紙條去進行重合，再把多余的部分折回或裁掉，與我們最初設計的“先找到分數單位，再數出個數”的設想截然不同，于是我們發現，經過熱火朝天的活動之后，學生的熱情在這一環節回歸了平靜，又再次回到了第一次上課時的狀態，熱鬧的活動似乎只是引出等值分數的一個前奏。

經過再次的討論和思考，將教學活動重新調整如下：

第一，為引起學生對“分數單位”的關注，事先將紙條剪開，使得每一段紙條都成為了一個“分數單位”，學生在尋找等值分數的過程中就必須通過數出分數單位的個數，才能夠找到這個分數。

第二，將操作環節分為兩次，第一次明確提出用“相同顏色的紙條進行拼擺”，并用文字或符號記錄下自己的發現，如：兩個淺綠色就組合成一個藍色，三個淺綠色就組合成一個橙色，兩個粉色組合成一個橙色。在直觀操作的基礎上，進而將這種發現轉化成分數表述，如：兩個六分之一就是三分之一，三個六分之一就是二分之一，兩個四分之一就是二分之一，等等，從中得出相等的分數。

第三，各組將發現的相等分數記錄在黑板上，派代表邊用紙條操作邊討論其變化規律，在總結出規律后，進一步引導學生思考：現在手里的紙條只有這些，還能找到其他更多的相等分數嗎？借以引起學生對這一規律普適性的思考。

第四，進行第二次操作，要求可以任意進行組合拼擺，用文字或符號記錄下自己的發現，小組討論并在全班交流，一方面為后續學習異分母分數加減法積累活動經驗，另一方面也為學生提供更加廣闊的思考空間。

本次調整后發現，學生在課堂上興趣高漲，在充分操作的基礎上歸納“分數基本性質”成了水到渠成的事情，以“分數單位”及其個數為主線來尋找等值分數的活動更是體現了這一內容“承上啟下”的基本思想，因此，“把握學科本質是一切教學法的根”，只有整體分析教學內容及其背后的學科本質，才有可能設計出有價值的學習活動。