探究讓法則教學更有效

關于如何教學數學運算法則，一直是一線教師感到苦惱、困惑的問題。“重結果輕過程”是法則教學中的普遍現象，大多數教師會直接給出運算公式（法則），然后讓學生通過反復訓練來強化記憶公式。《數學課程標準》（2011年版）明確指出：運算能力這一核心概念，不僅要讓學生掌握如何計算，而且還要知道相應的算理。在第八屆全國初中數學優秀課觀摩與評比活動中，浙江省杭州市采荷中學教育集團屠旭華老師執教的“同底數冪的乘法”這節課，很好地體現了新課標對數學知識教學的要求，尤其是他創新的教學設計為法則教學起到了引導、示范的作用。下面擷取幾個片段與大家共賞。

追根溯源，確定目標

師：同學們，關于數的運算我們學了哪些內容？

生：加、減、乘、除、乘方。

師：數的運算我們是怎樣學習的（學習路徑是什么）？

生：先學加減運算再學乘除然后再乘方運算。

師：好，對于整式的運算，我們已經學過了什么運算呢？

生：整式的加減。

師：你能否類比數的運算，猜想我們這節課將要學習整式的哪種運算？

生：整式的乘除。

師：嗯，好的。下面有四個整式，請從中任選兩個構造乘法運算：a2，a3，a3+ab，a+b。

回答下列兩個問題

（1）你能寫出哪些算式？（只需列式，不要求計算）

（2）試著將你寫出的算式分類，你認為整式乘法有那幾種類型？

學生自主探究，合作學習。

教師通過投影儀展示學生探究結果如下：

①a2a3，②a2（a3+ab），③a2（a+ab），④a3（a+ab），⑤a3（a3+ab），⑥（a3+ab）（a+ab）。

師：請將寫出的算式分類（寫出序號即可）。

生：分為三類①；②，③，④，⑤；⑥。整式乘法有三種類型分別是單項式乘以單項式、單項式乘以多項式、多項式乘以多項式。

師（總結）：對了。同學們再仔細觀察我們前面列出的6個算式，單項式乘以單項式有這樣三種類型：a2a3，（a3）2，（ab）2。形如a2a3類型的運算，稱為同底數冪的乘法。

運算法則教學的新課導入是教師很難把握的地方。有些教師認為，運算法則是一種規定，既然是規定就應該直截了當地告知學生，然后應用；有些教師會采用實際問題情境引入的方式，這也是新課程改革以來數學課堂的普遍現象。注重從現實生活情境中引出數學問題，這種引入的方式雖加強了數學與生活的聯系，但缺點是淡化了數學知識的內部聯系和系統性，并不適用于所有數學內容的教學。法則教學就是如此，如果從實際應用問題引入只是列出一個同底數冪的乘法算式，然后根據出現的算式進行法則的探究，這樣引入開門見山，卻只是就事論事，沒能使學生從整體上體會運算發展的脈絡，以及各種運算之間的關系。屠旭華老師引導學生類比數的運算引出整式的乘除，又通過四個整式的兩兩組合相乘，巧妙地引出整式乘法的三種類型：單項式乘單項式、單項式乘多項式、多項式乘多項式，再引導學生在教師的幫助下歸納出單項式乘以單項式的三種形式：同底數冪的乘法，冪的乘方，積的乘方。經過類比、推理、探究，歸納出本節課的主要學習內容——同底數冪的乘法。這種數學化的引入注重數學知識間的內部聯系，問題層層遞進，引導學生在不知不覺中進入學習的最佳狀態。

探究法則，感悟算理

師：請同學們運用乘方的意義計算下列各題。

（1）103×104=（ ）×（ ）____=10（ ）

（2）a3×a4=（ ）×（ ）____=a（ ）

（3）10n×10n=（ ）×（ ）_____=10（ ）

教師引導學生共同完成第（1）（2）小題。

（1）103×104=（10×10×10）×（10×10×10×10）=10×10×10×10×10×10×10=10（7）；

（2）a3×a4=（a×a×a）×（a×a×a×a）=a×a…a=a（7）。

師：觀察前面兩個小題的運算過程，你發現了什么規律嗎？請說出他們的共同特征。

生1：根據乘方的意義，第（1）小題是3個10的積乘以4個10的積，結果是7個10的乘積就等于10的7次方；第（2）題是3個a的積乘以4個a的積，就等于7個a的積，也就是a的7次方。

師：嗯，那第（3）小題又如何計算呢？

生2：m個10的積乘以n個10的積就等于（m+n）個10的積，就等于10的（m+n）次方。

師：通過對以上過程的觀察，你們發現這三個小題的運算有什么規律嗎？

生3：都一樣。他們都是同底數冪的乘法運算。同底數冪的乘法，底數不變，指數相加。

師：你能用一個式子表達這個規律嗎？

生（齊聲）：am×an=am+n。

師：嗯，同學們歸納得很好，上式中的m、n都為正整數。

師：回顧法則的探究過程，我們經歷了怎樣的過程？

生4：從特殊到一般的過程。

師：大家讀一讀法則并思考運用法則的條件是什么？

生（齊聲）：必須是同底數的冪。

師：如果運算過程中冪的底數不相同，應該怎么辦？

生（齊聲）：化為同底。

本教學片段的設計目的是讓學生通過探究，自己歸納出同底數冪的運算法則，感悟算理并注意法則運用的前提條件。在探究同底數冪的乘法法則這個環節中，教師設計了三個小題讓學生探究，底數分別從數字到字母變化，指數從數字到字母變化，教師的設問環環相扣，層層遞進，緊扣主題，為學生進一步觀察歸納做了有效鋪墊。探究過程緊緊圍繞著冪的意義和乘法法則展開，通過學生的獨立探索和與教師的交流對話，不但使學生體會到知識的形成過程，更深刻認識到同底數冪的乘法運算不是憑空產生的，而是在冪的意義和乘法運算的基礎上產生的，從而對運算發展的主線有了更清晰的認識。屠老師通過設問適時地引導和點撥，使得學生在探究過程中通過觀察歸納得出同底數冪的運算法則，即底不變，指數相加。不僅如此，還體會到從特殊到一般的數學歸納方法。通過設問引導學生觀察歸納出法則應用的條件，進一步滲透了轉化化歸的數學思想，并突出了“同底”這個條件。

探究應用，掌握法則

教師多媒體展示以下問題：

1.【辨一辨】下列各式哪些是同底數冪的乘法？

（1）78×73 （2）（-2）8×（-2）7

（3）28×58 （4）a5+a5

（5）x×x5 （6）（a-b）2（a-b）3

學生小組合作探討后，回答教師的問題。

生：第（3）題底數不同，不是同底數冪的乘法。第（4）題是同底數冪的加法不是乘法。其他的都是同底數冪的乘法。

師：嗯，回答正確。同學們都注意到了同底數冪的乘法的適用條件。接下來我們來做一做。

（多媒體展示問題）

請計算下列各式，結果用冪的形式表示。

（1）78×73 （2）（-2）8×（-2）7

（3）x×x5 （4）（a-b）2（a-b）3

師：同學們，如果我把第三題變式為x×x5×x9，又該如何計算呢？

生：先算前兩個的積再和第三個相乘得到x的15次方。

師：如果我再變式為x×x5×x9×x3，又如何計算呢？

生：底數不變，指數相加。

師：對了，同底數冪的乘法法則對三個及三個以上同底數冪相乘同樣適用。

（多媒體展示問題）

2.【判一判】

下面的計算對嗎？如果不對，怎樣改正？

（1）a3×a3=2a3（2）a2×a3=a6

（3）a×a6=a6（4）78×（-7）3=711

3.【做一做】計算下列各式，結果用冪的形式表示。

（1）（-5）2×（-5）3×54

（2）（a-b）2（b-a）

在這個教學片段中，屠老師設計了3個教學活動：辨一辨，判一判，做一做。通過辨一辨，使學生掌握法則運用的條件是——“同底”“乘法”；通過判一判，設置這四種典型錯題，讓學生辨析，糾錯，感悟，歸納運用法則時應注意的地方。幫助學生進一步理解掌握法則，優化算法，體驗轉化化歸思想；通過做一做，幫助學生突破互為相反數的冪的乘法，體驗整體思想的運用，提高思維能力。

這節課圍繞探究目標、探究法則、探究應用三個教學環節進行設計，以探究活動為載體，在設計上注重了整體感悟知識發展的邏輯主線，結構上層層遞進，方法上從特殊到一般；學習方法上注重類比和推理，從研究一個問題到研究一串問題，并對研究路徑有所感悟，引導學生實現由自主學習到學會學習的轉變。值得我們學習和借鑒。（作者單位：江西省教學教材研究室）

□責任編輯 周瑜芽