數學教學如何培養學生的抽象思維能力

抽象思維能力是人們認識事物本質的一種能力，并且是借以形成科學認識、揭示發展規律的一種重要的能力。抽象是“把事物共同的、本質的特征或聯系抽取出來，而舍去個別的、本質的特征和聯系的思維過程。”抽象思維能力并非數學所特有卻是數學活動的第一大特征。

高度抽象是數學的主要特征之—，教學活動中應著力培養學生從實際問題到數學問題的抽象，從特殊到—般的抽象，對事物本質屬性的語言抽象能力，以及遵循學生抽象思維發展的規律水平，加強學生的抽象思維能力的培養。

1.培養學生對概念、命題的抽象思維能力。概念是事物的本質屬性在人腦中的反映，它是在抽象概念的基礎上形成的思維形式，因此，新概念的學習是培養學生抽象概括能力的極好材料。在概念教學中，教師應該提供給學生豐富的、典型的、正確的實例，引導他們對這些實例進行分析、綜合、比較、抽象和概括等一系列的思維過程。如圓、球、映射、函數等概念的教學都能充分體現概念的抽象思維過程。下面是學習初中函數概念的例子，一般可采用以下步驟。

第一步，讓學生分別指出下面例子中的變量以及變量之間的關系的表達式：

（1）以每小時60公里的速度行駛的火車，所行駛的路程和時間；

（2）用表格給出的某水庫的存水量和水深；

（3）由某一天氣溫變化的曲線所揭示的氣溫和時間。

第二步，找出上述各例中兩個變量之間關系的共同屬性：

（1）第一個變量總在某個范圍內取值；

（2）兩個變量間存在某種相依關系；

（3）一個變量隨著另一個變量的變化而變化。

第三步，通過抽象，提出共同本質屬性的各種假設，例如假設：

（1）若兩個變量間存在著某種相依關系，那么一個變量就叫做另一個變量的函數；

（2）一個變量隨著另一個變量的變化而變化，這個變量就叫做另一個變量的函數；

（3）一個變量在某范圍內每取一個確定的值，相應的另一個變量都有唯一確定的值與之對應，那么就說第二個變量是第一個變量的函數。

讓學生運用變式（舉出反例：y=1，y2=x等），對假設進行檢驗，否定某些共同屬性不是本質屬性，以確定其本質屬性。

第四步，讓學生舉例，將上述屬性推廣到同類事物，概括形成函數概念并用定義表示。數學命題的產生不是孤立的和偶然的，它必然與某些概念和命題之間存在某些聯系，有其產生的背景，并且定理、公式往往又是一類問題中具有代表性的。因而這種從一類問題中歸納出定理、公式就需要一定的抽象思維能力。例如，韋達定理、二項式定理、等差數列的通項公式、等比數列的通項公式等命題教學，都可以通過特殊到一般的概括去進行，使其比具體實例有著更抽象的形式。

2.培養學生對模式、方法的抽象思維能力。模式的抽象能力即數學化能力，是指將一個現實問題抽象為具體的數學模型的能力，如列方程解應用題，用排列或組合解應用題等。下面是一道不拘泥于行程問題、工程問題、濃度問題等模式，且內容既不超綱，又是初中學生認知結構內的試題：

某商場銷售某名牌彩電，2012年第一季度每臺毛利為售價的20%（毛利等于售價減去進價），第二季度該商場將每臺調低10%（進價不變），結果售出臺數比第一季度增加了120%，求第二季度毛利總額與第一季度毛利總額相比的百分率。

這道題主要是考查初中學生數學化的能力，即抽象思維能力。實際上，只要通過設未知數和根據題中各量之間的關系，把第一季度每臺的毛利和毛利總額、第二季度每臺的毛利和毛利總額表示出來，問題就迎刃而解了。

3.培養學生的經驗型抽象思維能力。斯脫利亞爾在他的數學教育學專著中，提出了數學思維水平的學說，他指出，數學教學就是數學活動的教學，教學活動是具有一定結構的思維活動及數學活動（即數學思維）有不同的水平。數學教育能夠也應該做到使學生循序漸進地由教學活動的一個水平向另一個更高的水平發展。

現行初中數學課本對正負數概念、字母表示數、整式的四則運算到分式的基本性質等知識內容，都是用實例驗證的辦法，歸納導出的。整個思路都只是說明它的存在和怎樣操作運用，并未給出理論的說明。這樣做是正確的。而當引入同底數冪乘法與乘方法則時，進行了簡單的推導：

本應配以簡單的練習，繼續前進，逐漸提高思維水平，但遺憾的是到同底數冪除法法則時，又回到實例驗證的方法，而失去一個提高思維水平的大好時機。（作者單位：江西省武寧縣泉口中學）

責任編輯：周瑜芽