大體積混凝土溫度場一維差分算法探討

鄧旭

(鄭州大學 水利與環境學院，河南 鄭州 450002)

0 引言

對大體積混凝土而言，控制其溫度裂縫的產生和發展是保證混凝土質量的關鍵，而其溫度裂縫則是由于混凝土內部溫度場不均勻分布而引起，因此計算大體積混凝土的溫度場分布對其溫度裂縫控制有重要作用。目前該問題的計算已經有經驗公式法、有限元法等［1，2］，經驗公式法簡單易行，但精度較差，有限元法雖然精度較高，但計算工作量較大。本文以熱傳導為基礎，建立大體積混凝土溫度場的一維差分格式，通過對其溫度場進行差分求解，其精度可滿足工程要求，且計算效率較高。

1 混凝土溫度場的熱傳導理論

1.1 熱傳導方程

大體積混凝土的熱傳導問題實際上是固體內有熱源的熱傳導問題，其熱傳導方程為［1］:

式中，c為混凝土比熱，kJ/(kg·℃);λ為混凝土的導熱系數，kJ/(m·d·℃);τ為時間，d;ρ為混凝土密度，kg/m3;θ為混凝土絕熱溫升，x，y，z為混凝土內部點的位置坐標;T為混凝土內部坐標點溫度。

1.2 初始條件和邊界條件

熱傳導方程是物體的溫度與時間、空間關系，其方程解有無限多，為確定所需要的溫度場，還須知道方程的初始條件和邊界條件［1］。

初始條件:對于大體積混凝土，其初始溫度為其初始瞬時溫度，即澆筑溫度，為常數。

第一類邊界條件:混凝土表面溫度T為已知函數，即:

第二類邊界條件:混凝土表面的熱流量是時間的已知函數，即:

當為絕熱邊界條件時，?T/?n=0。

第三類邊界條件:假定經過混凝土表面的熱流量與混凝土表面溫度T和氣溫Tf之差成正比。即:

式中，β為混凝土表面的放熱系數。

第四類邊界條件:當兩種固體(接觸良好時，則在接觸面上溫度和熱流量是連續的，其邊界條件為:

2 一維溫度場的有限差分格式

當結構為無限大平板時，其長度和寬度方向遠大于其厚度方向，則其熱傳導方程可簡化為一維熱傳導問題。

一維熱傳導方程可表示為:

設混凝土板厚為L，將其在厚度方向等分為n－1層，則每層厚度為:

圖1 一維差分示意圖

設Ti，τ表示第i點在時刻τ的溫度，用中心差商代替微商，得:

將式(9)代入式(7)，則可得:

式中，r=aΔτ/h2，當r小于0.5時，差分格式穩定。

邊界條件處理:考慮混凝土邊界條件多為絕熱邊界、第三類與第四類邊界條件，故對此三種情況建立其差分格式。

絕熱邊界條件:

式中，T邊為混凝土邊界處溫度，T內為混凝土內部距離邊界為1單位的節點的溫度值。

第三類邊界條件:利用牛頓后插公式，建立其差分格式為:

式中，s=2βh/λ，T邊為混凝土邊界處溫度，T內1為混凝土內部距離邊界為1單位的節點的溫度值，T內2混凝土內部距離邊界為2單位的節點的溫度值，Ta為外界介質溫度。

第四類邊界條件:

式中，λ1、λ2分別為1、2固體的熱傳導系數，g1、g2為1、2固體的柵格間距。

3 一維溫度場差分求解

某無限大平板，其導溫系數為0.1，厚度為10m，初始溫度為10℃，兩邊界溫度為0℃［1］。

對于此模型，其溫度場理論解為:

對于無限大平板，可簡化為一維問題，對其進行差分求解。由于結構為對稱，取一半進行分析，30天后其各點溫度值如圖2所示。

圖2 差分與理論解比較圖

取200天對結構進行分析，可得其溫度場變化規律為:

圖3 溫度場變化圖

其中心點溫度隨時間變化規律為:

圖4 中心點溫度變化規律

通過計算分析，可知差分解與理論解誤差較小，其精度可滿足工程需要。結構由于散熱，整體溫度趨于邊界溫度，其內部點溫度下降滯后與邊界點，與實際情況相符。

4 結語

建立大體積混凝土熱傳導的一維差分格式，通過與理論界進行對比，其計算精度也可滿足工程需要，但其計算參數的選取對計算精度的影響較大，如果條件允許，應利用試驗的方式合理確定各參數取值。

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